1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 21 及答案与解析一、填空题1 2 3 4 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x) xsinx，则 f(x)_5 6 7 8 9 10 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 fn(x)xx 2x n(n2)11 证明方程 fn(x)1 有唯一的正根 xn；12 求 13 设 a0，讨论方程 aexx 2 根的个数14 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3 一 3xk0 根的个数15 设 k 为常数，方程 在(0，)内恰有一根，求 k 的取值范围16 设 f(x)在 一 1，1上可导， f(x)在 x0 处二阶可导，且 f(0)0，f“(
2、0)4求17 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f(0) 0，f“(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 17 设函数 f(x) 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)118 确定常数 a，使得 f(x)在 x0 处连续；19 求 f(x)；20 讨论 f(x)在 x0 处的连续性21 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f (a)f一(b)0证明：存在(a， b)，使得 f()022 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) 证明：存在(0， 2)，使得 f()223 设 f(x
3、)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内司导，且 f(a)abf(b).证明：存在 i(a，b)(i 1，2，n)，使得 .24 设函数 yf(x)二阶可导，f(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 “(y)25 设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 证明：f(x 0)M 26 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1) 0证明：存在 (0，1)，使得 f“() .27 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得27 设 f(x)在a，b上连续，在(
4、a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0， 证明：28 存在 c(a，b)，使得 f(c)0；29 存在 i(a，b)(i1，2)，且 i2，使得 f(i)f( i)0(i1，2)；30 存在 (a，b) ，使得 f“()f()；31 存在 (a，b)，使得 f“()一 3f()2f()032 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)f(a 2)f(a n) 0证明：存在 (a1，a n)，使得33 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(xh)f(x)f(xh)h(001)证明：33 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率
5、半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ 2，称 P，Q 关于 L 对称设L： ，P 点的坐标为 34 求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；35 求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标36 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()考研数学一（高等数学）模拟试卷 21 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 ln(1e x
6、)C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 cosxxsinxC【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数
7、学部分11 【正确答案】 令 n(x)f n(x)一 1，因为 n(0)一 10， n(1)n 一 10，所以 n(x)在(0，1) (0，)内有一个零点，即方程 fn(x)1 在(0，)内有一个根 因为 n(x)12xnx n1 0，所以 n(x)在(0，) 内单调增加，所以n(x)在(0，) 内的零点唯一，所以方程 fn(x)1 在(0，)内有唯一正根，记为xn【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 由 fn(xn)一 fn1 (xn1 )0，得，从而 xnx n1 ，所以单调减少，又 xn0(n1，2，)，故 存在，设 ，显然Axnx11，由 xnx n2x nn1，得 ，两边求极
8、限得 ，解得 ，即 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 ae xx 2 等价于 x2ex 一 a0令 f(x)x 2ex 一 a，由 f(x)(2xx2)ex 0 得 x0，x2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x) 0；当 x2时，f(x)0，于是 x0 为极小点，极小值为 f(0)一 a0；x2 为极大点，极大值为 f(2) 一 a，又 (1)当 ，即时，方程有三个根； (2)当 ，即 时，方程有两个根 (3)当 ，即 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 f(x)x 3 一 3xk， 由 f(x)3x 2 一 30，得驻点为 x1一 1
9、，x 21f“(x)6x，由 f“(一 1)一 6，f“(1)6，得 x1一 1，x 21 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(一 1)2k，f(1)k 一 2 (1)当 k一 2 时，方程只有一个根； (2)当 k一2 时，方程有两个根，其中一个为 x一 1，另一个位于(1，)内； (3)当一2k2 时，方程有三个根，分别位于(一，一 1)，(一 1，1)，(1，)内； (4)当 k2 时，方程有两个根，一个位于(一，一 1)内，另一个为 x1； (5)当 k2时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答
10、案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 曲线 yf(x)在点(x ，f(x) 处的切线方程为 Y 一 f(x)f(x)(X x)，【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 不妨设 f (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f (a)0，则存在 0(b 一 a)，当 0xa 时，0，即 f(x)f(a)， 所以存在 x1(a，b) ，使得 f(x1)f(a) 同理由 f一(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f
11、(x2)f(b) 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x 2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b) 内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()0【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 先作一个函数 P(x)ax 3bx 2cxd，使得 P(0)f(0) 1，P(1)f(1)0，P(2)f(2) ，P(1)f(1) 则 P(x)令 g(x)f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)g(1) g(2)0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得 g(c1)g(1)g(c 2)0，又存在 d
12、1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)g“(d 2)0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g()0，而 g(x)f(x) 一 2，所以 f()2【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 h ，因为 f(x)在a ，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)，所以 f(a) aaha(n 一 1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c2c n1 b，使得 f(c1)ah，f(c 2)a2h， ，f(c n1 )a(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)一 f(a)f( 1)(c1一 a)， 1(a，c 1)，f(c
13、2)一 f(c1)f( 2)(c2 一 c1)， 2(c1，c 2)，f(b) 一 f(cn1 )f( n)(b 一 cn1 )， n(cn1 ，b)，从而有。【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)f()(xx 0)，其中 介于 x0 与 x之间，则 ，由 得M，即 f(x0)M 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 (x)(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得
14、 f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1) ，使得 ()0，而 (x)2(x 一 1)f(x)(x 一 1)2f“(x)，所以 2( 一 1)f()( 一 1)2f“()0，整理得 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0) 0，f(1)1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 令 F(x) ，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且F(x)f(x)
15、故存在 x(a， b)，使得 F(b) 一 F(a)F(c)(b 一 a)f(c)(b一 a)0，即 f(c)0【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 令 h(x)e xf(x)，因为 h(a)h(c) h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b) ，使得 h(1)一 h(2)0， 而 h(x)e xf(x)f(x)且 ex0，所以 f(i)f( i)0(i1，2)【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 令 (x)e x f(x)f(x)，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()0，而 (x)e x f“(x)一 f(x)且 e
16、 一0，所以f“()f() 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 令 g(x)e x f(x)，g(a)g(c) g(b)0，由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b)，使得 g(1)g( 2)0，而 g(x)e x f(x)一 f(x)且 ex 0，所以 f(1)一 f(1)0，f( 2)一 f(2)0令 (x)e 2x f(x)一 f(x)，( 1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0，而 (x)e 2x f“(x)一 3f(x)Zf(x) 且 e2x 0，所以 f“()一 3f()2f()0【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 当 ca
17、 i(i1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设c 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1c a 2 a n 令构造辅助函数 (x)f(x)一 k(xa1)(xa2)(xan)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)(c)(a 2)(a n)0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c) ， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1 ，a n)，使得 (1(1)( 2(1)( n(1)0，(x) 在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则(n1) (x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)
18、，使得 (n1) (c1) (n1) (c2)0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a 2)，使得 (n)()0而 (n)(x)f (n)(x)一 n!k，所以 f(n)()n!k，从而有【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 由泰勒公式得 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 设点 M(x，y)L ，则【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得【知识模块】 高等数学部分
