1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 220 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=01cosx sint2dt，g(x)= ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 D：x 2+y216，则 x2+y2 一 4dxdy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）603 下列说法正确的是( ) 二、填空题4 =_5 设 f()可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则 f(1)=_6 设 f(x
2、)= 则 1 5f(x 一 1)dx=_7 设 z= =_8 设 (x)可导，(0)=2 ，且 Lxy2dx+(X)ydy 与路径无关，则 (1，2) (2，3) xy2dx+(x)ydy=_9 微分方程(2x+3)y =4y的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 11 确定常数 a，b 的值，使得 ln(1+2x)+ =x+x2+o(x2)12 设 f(x)=x(x 一 1)(x2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)13 求曲线 y=f(x)= 的渐近线14 设 ba 0，证明： 15 计算 16 设 f(x)=sin3x+ xf(x)dx，求 0f(x)
3、dx17 设 f(x2 一 1)=ln ，且 f(x)=lnx，求(x)dx18 设 f(x)=0x dx18 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为 D219 求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；20 求此时的 D1+D221 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功22 求过直线 的平面方程23 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明：xg(z) =yf
4、(z) 24 计算 I= ，其中 S 是平面 =1 在第一卦限的部分25 判断 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?26 求幂级数 n(n1)x n 的和函数27 求满足初始条件 y2x(y )2=0，y(0)=1，y (0)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 220 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，g(x) ，所以 f(x)是 g(x)的高阶无穷小，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 x 2+y2 一 4dxdy= 02d04r 2 一 4rdr=2 04r 2 一
5、4rdr=2 02(4r 2)rdr+24(r24)rdr=80，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，如 N=(一 3)n1 ，显然 发散；(B)不对，如 n= 发散；(C)正确，因为=0，存在 N0，当 nN 时，0 n1，从而0n2n1，由比较审敛法得 n2 收敛；(D)不对，如 n=发散【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy x=1 =一 2f(1)005= 一 01f (1)，因为 y的线性部分为 dy，由一 01f (1)=0
6、15 得 f(1)= 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 ln3【试题解析】 1 5f(x1)dx= 1 5f(x 一 1)d(x 一 1)=2 4f(x)dx=2 0f(x)dx+04f(x)dx= 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 21【试题解析】 由 2xy=(x)y 得 (x)=2x，解得 (x)=x2+C，由 (0)=2得 (x)=x2+2，故 (1，2) (2，3) xy2dx+(x)ydy=(1，2) (2，3) xy2dx+(x2+2)ydy=(1，2) (2，3)d( x2y2y 2)=( x2y2y 2) (1
7、，2) (2，3) =21【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y= C1x36C 1x29C 1xC 2【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y=C1(2x+3)2，于是 y= C1x36C 1x29C 1xC 2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由 ln(1+2x)=2x 一 +(x2)=2x 一 2x2+(x2)， =(ax1一 bx+(x)=ax 一 abx2+(x2)，得 ln(1+2x) =(a+2)x(ab+2)x 2+(x2)，于是
8、解得 a=一 1，b=3【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由 f (x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x一 99) 得 f(0)=(一 1)2(一 3)100=100！【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 =得曲线无水平渐近线；由 =得 x=一 1为铅直渐近线；由 得 x=1 不是铅直渐近线；由=1 得斜渐近线为y=x+1【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)= ，其中 (a，b) 因为 0a b，所以 ，从而【知识模块】 高等数学15
9、 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 xf(x)dx=A，则 f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得 xf(x)dx= xsin3xdx+ Axdx，即 A= xsin3xdx=20xsin3xdx=0sin3xdx=，从而 f(x)=sin3x+ ，故 0f(x)dx=(1 2)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由 f(x2 一 1)= ，再由 f(x)= ，所以(x)dx=x+2lnx 一 1+C【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由方程组 ，得直线与曲线交
10、点为因为 V(k)0，所以函数 V(k)当 k= 时取最小值，且最小值为 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 S(k)=，所以此时 S=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，d=(2R 一 x)R2 一(Rx) 21gdx=x(2Rx)2gdx，W= 02Rd= g【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 s 1=1，一 1，2，s 2=1，2，1，n=s 1s2=一 5，一3，1，所求平面方程为 ：一 5(x 一 2)一 3(y+2)+(23)=0，即
11、：一 5x 一3y+z+1=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 I= ，而S：Z= =1 及 x 轴， y 轴围成的部分【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 ，因为0，所以原级数为交错级数由收敛，因为 条件收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 幂级数 n(n+1)xn 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 y=p，则y= =x2+C1，由 y(0)=1 得 C1=1，于是 y=，y=arctanx+C 2，再由 y(0)=1 得 C2=1，所以 y=arctanx+1【知识模块】 高等数学
