1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 222 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，f(x)= 的极限为( )（A）2（B） 0（C） （D）不存在但不是2 设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)=f(0)（D）f(0)=一 f(0)3 设平面区域 D：1x 2+y24，f(x，y) 是区域 D 上的连续函数，则等于( )（A）2 12rf(r)dr（B） 212rf(r)dr 一 01rf(r)dr（C） 212rf(r2)dr（D）2 02r
2、f(r2)dr01rf(r2)dr4 设 k0，且级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关二、填空题5 =_6 设函数 y=y(x)由 e2xy cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为_7 0 x7ex2 dx=_8 过点 M0(1，一 1，2)且与直线 L1：x+2y z 一 2=0 与 L2：xyz 一 4=0 都平行的平面为_9 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则 =_10 设 f(x，y， z)=x2 一 y2+2z2，则 div(gradf)=_11 设 y=y(x
3、)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求 13 设 b0，且 =2，求 b 的值14 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性15 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f (x)M，证明：f (x) 16 计算 17 求 18 求 19 设 f(t)=1tex2dx，求 01t2f(t)dt20 求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： 垂直的平面方程20 设直线 L： 绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面为 21 求由
4、曲面及 y=0，y=2 所围成的几何体 的体积22 设 为均匀的几何体，求该几何体的质心23 设 =f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x) 分别由方程 exy 一 y=0 与 ez 一xz=0 确定，求 24 求 I= ，其中为 x2+y2+z2=1 被 z= 所截的顶部25 求幂级数 (n2+1)xn 的和函数26 求幂级数 (x+1)n 的和函数27 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线考研数学一（高等数学）模拟试卷 222 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然
5、 =+，而不存在但不是，选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)=f(0) ， F (0)=f(0)一 f(0)；F (0)=f(0)+f(0)，因为 F(x)在x=0 处可导，所以 F (0)=F (0)，于是 f(0)=0，故应选 (A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 dxdy=02d12rf(r)dr=2rf(r)dr，选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为都收敛，所以 绝对收敛，正确答案为(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】
6、y= x1【试题解析】 当 x=0 时，y=1，e 2xy 一 cos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导得e2xy (2+ )sin(xy)(y+ )=0，将 x=0，y=1 代入得 =一 2，故所求法线方程为 y 一 1= (x 一 0)，即 y= x+1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 3【试题解析】 0 x7xx2 dx= 0 x6ex2 d(x2)= 0 t3et dt= =3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ：x+z 一 3=0【试题解析】 所求平面的法向量为 n=1，2，一 11，一 1，一 1= 一3，0，一 3=一 31，0，1，所求的平面为 ：(x 一 1)+
7、0(y+1)+(z 一 2)=0，即：x+z 一 3=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 将 代入 e2yz+x+y2+z= 中得 z=0，e 2yz+x+y2+z= 两边求微分得 2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 x= ，y= ，z=0 代入得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 4【试题解析】 gradf= =2x，一 2y，4z，则 div(gradf)=4【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y(x)=2xe 3x x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y (0)=2，y 一 6y+9y=e3x 的特征方程为26+9=0，
8、特征值为 1=2=3，令 y一 6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代入得a= ，故通解为 y=(C1+C2x)e3x+ x2e3x由 y(0)=0，y (0)=2 得 C1=0，C 2=2，则y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 0f(x)= x =0=f(0)，故f(x)在 x=0 处连续由 =1 得 f (0)=1，再由=0 得 f (0)=0，因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在x=
9、0 处不可导【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f(x)(0 一 x)+ (0 一 x)2，(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1x)+ (1 一 x)2， (x，1)，两式相减得 f(x)= f()x2 一 f()(1 一 x)2，取绝对值得f (x) x2+(1 一 x)2，因为 x2x，(1 一 x)21 一 x，所以 x2+(1 一 x)21，故f (x) 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 01t2f(t)d
10、t= 01f(t)d(t3)= f(t)01 01t3et2dt，因为 f(1)=0，所以【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 所求平面的法向量为 n=s1s2= 2，1，一 1 0，1，一 1=0， 2，2，于是所求平面方程为 ：2(y+2)+2(z 一 2)=0，即 ：y+z=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设 M(x，y，z) ，M 所在的圆与 L 的交点为 M0(x0，y，z 0)，圆心为 T(0，y， 0)，由MT = M 0T得 x2+z2=x02+z02，由代入得：x 2+z2=1+4y+5y2，所求的几何体体积为 V= 【知识模块】 高等数
11、学22 【正确答案】 设质心坐标为 ，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 ，方程 exy 一 y=0 两边对 x 求导得方程 ezxz=0 两边对 x 求导得 ，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 得曲面在 xOy 平面上的投影区域为Dxy：x 2+y2 ，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 =1 得收敛半径为 R=1，又当 x=1 时，得级数收敛，收敛域为(一 1，1) 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 x+1=t， =1 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为(1)n0，所以收敛区间为一 1t1，从而一 2x0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设切点为 P(x，y)，曲线上 P 点处的切线为 Yy=y(Xx)，令X=0，得 Y=y 一 xy，切线与 y 轴的交点为 Q(0，yxy )，由题意得 x2+x2y2=4，解得 y= ，变量分离得 dy= dx，积分得 y=+C，由 y(2)=0，得 C=0，所求的曲线为 y=【知识模块】 高等数学
