1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 223 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续且 F(x)= 为( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=( )3 设 x2+y22ay(a0)，则 f(x，y)dxdy 在极坐标下的累次积分为( )（A） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（B） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（C） d02asinf(rcos， rsin)rdr（D） d02asinf(rcos，rsin)rdr4 设幂级数
2、的收敛半径分别为 R1，R 2，且 R1R 2，设 (anb n)xn 的收敛半径为 R0，则有( )（A）R 0=R2（B） R0=R1（C） R0R 2（D）R 0R 2二、填空题5 =_6 设曲线 y=lnx 与 y= 相切，则公共切线为_7 1 =_8 直线 L： 绕 z 轴旋转而成的曲面为_9 设 y=y(x)由 x1xy et2 dt=0 确定，则 =_10 设 L： 从 z 轴正向看，L 为逆时针，则 ydx 一(2z+1)dy+2xdz=_11 微分方程 2y=3y2 满足初始条件 y(一 2)=1，y (一 2)=1 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3、。12 求 13 设 an= ，证明：a n收敛，并求 an14 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： =f(a)15 证明：当 x1 时， 16 计算 17 求 18 求 19 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx20 求过点 A(一 1，2，3) 垂直于 L： 且与平面 ：7x+8y9z10=0 平行的直线方程20 求 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=521 求 f(x，y)22 求 f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2+4y24)上的最小值和最大值23 设 z=f(x，y)由 f(x+y， xy)=x2 一 y2 一
4、 xy 确定，求 dz24 计算 I= (x2+y2+z)dS，其中 S 是圆锥面 z= 介于 z=0 与 z=1 之间的部分25 求幂级数 的和函数26 求幂级数 (2n1)x n 收敛域及和函数27 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积考研数学一（高等数学）模拟试卷 223 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2xaxf(t)dt+x2f(x)=a2f(a)，选(
5、B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 F (x)=f(lnx)(lnx) 一 ，应选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 令 其中 0，0r2asin，则 f(x，y)dxdy=0d02asinf(rcos，rsin)rdr ，选(B) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y= 1【试题解析】 设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e2，两条曲线的公共切线为 ylne2= (x 一 e2)，整理得切线为 y= 1
6、【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ：x 2y 2=5(1+z2)【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲面上的任一点，其所在的圆对应的直线 L 上的点为 M0(x0，y 0，z)所在圆的圆心为 T(0，0，z)，由MT=M 0T得x2+y2=x02+y02，故所求的曲面为：x 2+y2=(1+2z)2+(2 一 z)2，即：x 2y 2=5(1+z2)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1，x 1xy et2 dt=0 两边对 x 求导，得 1=0，将 x=0，y=1 代入得 =e 一 1
7、【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 16【试题解析】 点 O 到平面 x+y+z= 的距离为 d= =3截口圆的半径为 r=4设 L 所在的截口圆为 ，取上侧，法向量为 n=1，1，1，法向量的方向余弦为 cos=cos=cos= ，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 x=【试题解析】 令 y=p，则 y= ，则原方程化为 =3y2，解得 p2=y3+C1，由 y(一 2)=1，y (一 2)=1，得 C1=0，所以 y= =x+C2，再由 y(一2)=1，得 C2=0，所求特解为 x= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12
8、【正确答案】 x0 时，由 1 一 cosx x2 得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3，当 n=1 时，a 1= 3，设 n=k时，a k3，当 n=k+1 时， ak1 = =3由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 an3，所以 存在【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20，因为 f(x)=ln(1+x)+1lnx 一 1=ln(1+ )0(x 1)，所以 f(x)在1，+) 上单调增加，再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，
9、f(x)0，即 【试题解析】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)一 xlnx0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 0cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0一 0f(x)sinxdx =一 0f(x)sinxdx= 0ecosxsinxdx=0ecosxd(cosx) =ecosx 0=e 1 一 e【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6，平面：7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n0
10、=7，8，9，因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与 s=4，5，6及 n0=7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn0=一 3，6，一 3，所求直线为【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 dz=2xdx 一 4ydy 得 dz=d(x2 一 2y2)， 从而 f(x，y)=x 22y 2+C，再由 f(0，0)=5 得 f(x，y)=x 22y 2+5【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当 x2+4y24 时，由 ；当x2+4y2=4 时，令 ，z=4cos 2t 一 2sin2t+56cos2t+3，当cost=0 时，f
11、 min=3；当 cost=1 时，f max=9，故最小值为 m=0，最大值 M=9【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 代入得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲面 S： z= 在 xOy 平面上的投影为 D：x 2+y21，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =1 得收敛半径为 R=1，当 x=1 时级数收敛，故级数的收敛域为一 1，1令 S(x)= ，S(0)=1；当 x0 时，故S(x)=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 =1 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时，(2n+1)(1)n 发散，所以级数的收敛域为(一 1， 1)令 S(x)= (2n+1)xn因为，将 x2 换成 x得 S(x)= (一 1x1)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C1)，因为曲线 L1过点(1 ，1) ，所以 C1=一 1，故 L1：y=2x 2 一 x对曲线 L2，由题意得，因为曲线 L2 过点 (1，1)，所以 C2=一 1，故L2：y=2 一 由 2x2 一 x=2 一 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为 A= 一 ln2【知识模块】 高等数学
