1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 226 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f(0)存在，则 g(x)= ( )（A）在 x=0 处无极限（B） x=0 为其可去间断点（C） x=0 为其跳跃间断点（D）x=0 为其第二类间断点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 =0，则 f(x)在x=0 处 ( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=一 1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导3 设 f(x)二阶连续可导，且 =2，则( )（A）x=1 为 f(x)的极大点（B） x=
2、1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)为 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点4 设 M= cos2xdx，N= (sin3x+cos4x)dx，P= (x2sin3xcos4x)dx，则有( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N5 设 f(x)= 则以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于( )（A）1+ 2（B） 1（C）（D）二、填空题6 =_7 =_8 设 z=(x2+y2)xy，则 =_9 曲线 L： 绕 y 轴一周所得旋转曲面在点 (0，一 1，2)处指向外侧的单位法向量为_10 设 =_
3、11 以 y=C1e2x +C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 设 a1=1，a 2=2，3 n2 4an1 +an=0，n=1 ，2， ，求 an14 设 f(x)连续，且 g(x)=0xx2f(xt)dt，求 g(x)15 求 y=0x(1 一 t)arctantdt 的极值16 求 17 求 18 计算 3 19 一直线位于 ：x+y+z+1=0 内、与直线 L： 垂直、经过直线 L 与平面 的交点，求该曲线20 设变换 =0，求常数 a21 改变积分次序并计算 22 计算 (0z1)23 计算 xz2
4、dydz+(x2yz3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中为 z= 和z=0 围成区域的表面外侧23 设 a1=2，a n1 = (n=1，2，)证明：24 存在；25 级数 收敛26 求幂级数 1+ 的和函数 S(x)及其极值27 求微分方程 y2y 一 3y=(2x1)e x 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 226 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0)存在，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为 f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为=f(0)，所以 x
5、=0 为 g(x)的可去间断点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 =2 及 f(x)二阶连续可导得 f(1)=0，因为=20，所以由极限保号性，存在 0 ，当 0xl 时，0，从而 当 x(1 一 ，1)时，f (x)0；当 x(1，1+)时，f (x)0，则(1，f(1)为曲线 y=f(x)的拐点，应选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 PM N ，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于，选(D)【知识模块
6、】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (x 2y 2)xyyln(x 2y 2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L： 绕 y 轴一周所得的旋转曲面为4x2+9y2+4z2=25，n=8x ，18y，8z (0，1，2) =0，一 18，16，所求的单位法向量为 e= 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 8【试题解析】 (一 1)n 1an=8【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y +y一 2y=一 sinx 一 3cosx【试题解析
7、】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0，设所求的微分方程为 y+y一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 3an 24an1 +an=0，得 3(an2 一 an1 )=an1 一an(n=1，2，)令 bn=an1 一 an，则 bn1 b n=13(n=1，2，)，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 g(x)=一
8、x20xf(xt)d(xt) 一 x2x0f()d=x20xf()d，g (x)=2x0xf()d+x2f(x)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 y=(1 一 x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y =一 arctanx+ ，因为 y(0)=1 0，y (1)=一 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)=01(1 一 t)arctantdt=01arctantdt01tarctantdt=tarctant 01 01= (1 一ln2)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知
9、识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 的交点为(0，一 1，0)；直线 L 的方向向量为1，0，20，1，1= 一 2，一 1，1，所求直线的方向向量为s=一 2，一 1，11，1，1=一 2，3，一 1，所求直线为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将 ， 作为中间变量，则函数关系为 z=f(，)， 则有将上述式子代入方程=0，根据题意得解得 a=3【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由奇偶性得 I= x2zdS，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由高斯公式得 xz2dy
10、dz+(x2yz3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy= (x2y 2z 2)d=02d0 d0ar4sindr= 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为 an 1=0，所以a nn=1单调减少，而 an0，即a n n=1是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，an 存在【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由上问得 0 an 一 an1 ，对级数 (an 一an1 )，S n=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(a n 一 an1 )=2 一 an1 ，因为(an 一 an1 )收敛，根据比较审敛法，级数 收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 S(x)=1+ ，令 S(x)=一 =0，得唯一驻点 x=0，当 x0 时，S (x)0，当 x0 时，S (x)0，则 x=0 为 S(x)的极大值点，极大值为 S(0)=1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，特征值为 1=1， 2=一 3，则 y+2y一3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x 令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 高等数学
