1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 228 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =b，其中 a，b 为常数，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=一 1（C） a=一 1，b=1（D）a= 一 1，b=一 12 设 y=y(x)由 x 一 1xy et2 dt=0 确定，则 y(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e2（C） e21（D）e 2 13 曲线 y= 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条4 下列广义积分发散的是( )（A） 1 1（B） 1 1（C） 1（D） 0 x10ex2 dx二、填空题5
2、 =_6 =_7 设 f 二阶可偏导，z=f(xy，x+y 2)，则 =_8 设 f(x，y)可微，且 f1(一 1，3)=一 2，f 2(一 1，3)=1，令 z=f(2xy， )，则dz (1， 3)=_9 设 f(x)= ，则 f(n)(0)=_10 设 f(x)可导，且 01f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 若 12 设 f(x)= sinx，求 f(x)的间断点及其分类13 举例说明函数可导不一定连续可导14 求函数 y=(x 一 1) 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线15 求 16 (1)(x)=sinxco
3、s2xln(1+t2)dt，求 (x)(2)设 F(x)=0xdy0y2 dt，求 F(x)17 计算 18 求过直线 L： 且垂直于平面 x+2y 一 z 一 3=0 的平面19 试求 z=f(x，y)=x 3y 3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值20 设 f(x，y)= ，其中D=(x，y) ax+yb(0ab) 21 计算 2zdxdy+xzdydz，其中：z= ，取上侧22 设 f()连续可导，计算 I= +zdxdy，其中曲面为由 y=x2+z2+6 与 y=8 一 x2 一 z2 所围成立体的外侧23 判断级数 的敛散性23 设 为两个正
4、项级数证明：24 若 收敛；25 若 发散26 将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数27 求微分方程 y+4y+4y=eax 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 228 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =，即 a=1，又=一 1，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0 时，由一 1yet2 dt=0 得 y=1，【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 =一得 x=0 为铅直渐近线；由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1及 x一 2
5、 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由发散，应选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 ，因为sinx=x 一 +(x3)，所以当 x0 时，(1+x 2)sinxx 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 lnx2 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 f 1+y(xf11+2yf12)+xf21+2yf22=f1+xyf11+(x+2y2)f12+2yf22【试题解析】 =yf1+f2， =f1+y(xf11+2yf12)+xf21+2yf22=f1+xyf11+(x+
6、2y2)f12+2yf22【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 dz (1，3) =7dx3dy【试题解析】 则 =2f1(一1，3)一 3f2(一 1，3)=一 7， =一 f1(一 1，3)+f 2(一 1，3)=3 ，则 dz (1，3) =一 7dx+3dy【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 f(x)=e x【试题解析】 由 01f(x)+xf(xt)dt=1 得 01f(x)dt+01f(xt)d(xt)=1 整理得 f(x)+0xf()d=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0， 解得 f(x)=Cex ，因为
7、f(0)=1，所以 C=1，故f(x)=ex 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x=0 及 x=1 为 f(x)的间断点=0，则 x=0 为 f(x)的可去间断点；因为 f(10)f(1+0)，所以 x=1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 f(x)= 当 x0 时， f(x)=2xsin ，当 x=0时，f (0)= =0即 f(x)= 因为 不存在，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 高等数学1
8、4 【正确答案】 由y= =0 得 x=一1、x=0 当 x一 1 时，y 0；当一 1x0 时， y0；当 x0 时，y 0，y=(x一 1) 的单调增区间为(一，一 1(0，+)，单调减区间为一 1，0，x=一 1 为极大点，极大值为 y(一 1)=一 ；x=0 为极小点，极小值为 y(0)=一因为 没有水平渐近线；又因为y=(x 一 1) 没有铅直渐近线； 得y=x 一 2 为曲线的斜渐近线；【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (1) (x)=一 2ln(1+cos22x)sin2xln(1+sin2x)cosx(2)F (x)=，F (x
9、)= 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 直线 L 的方向向量为 s=1，一 1，一 22，1，1= 1，一5，3， M 0(1，一 1，0)为直线 L 上一点，也是所求平面上的点， 所求平面的法向量为 n=1 ，一 5，3 1，2，一 1=一 1，4，7， 所求平面为 ：一(x一 1)+4(y+1)+7(z0)=0，即 ：x 一 4y 一 7z 一 5=0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 当(x，y)为区域 D 内时，由；在 L1：y=一 1(0x2)上，z=x 33x一 1，因为 z=3x2+30，所
10、以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13；在L2：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8，由 z=3x2 一 6=0 得，z(2)=4；在 L3：x=0(一 1y2)上，z=y 3，由 z=3y2=0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8 ；在 L4：x=2(一 1y2)上，z=y 3一 6y+8，由 z=3y2 一 6=0 得 ，z(2)=4，故 z=x3+y3 一 3xy，在 D 上的最小值为一 1，最大值为 13【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 D1= (x，y)0xa，a 一 xybx，D2=(x，y) axb，0yb 一 x，则
11、 f(x，y)dxdy=0aex dxax bx ey dy abex dx0bx ey dy=0aex (exa 一exb dx+abe x(1e xb )dx=(a+1)(ea 一 eb )一(ba)e b 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 是 所围成的区域，它在 xOz 平面上的投影区域为x2+z21，由高斯公式得 I=【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 且 ，所以根据级数收敛的定义知收敛【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 取 0=1，由 =0，根据极限的定
12、义，存在 N0，当 nN时， 01，即 0anb n，由 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 根据上问，当 nN 时，有 0anb n 因为发散，由比较审敛法，发散【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 f(x)= (一 1)nx2n(一 1x1)，f(0)=0，得 f(x)=f(x)一 f(0)=0xf(x)dx=0x (一 1)nx2ndx，由逐项可积性得 f(x)= x2n1 ，显然x=1 时级数收敛，所以 arctanx= x2n1 (一 1x1)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x + eax；(2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e2x ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e2x + x2e2x 【知识模块】 高等数学
