1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 230 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 f(0)0 ，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 =2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值3 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A）一 02x
2、(x1)(2 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2x)dx（C）一 01x(x1)(2 x)dx 12x(x1)(2x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx4 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 =一 3，则f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值5 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2
3、(x)（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)二、填空题6 =_7 =_8 0xxsin(xt) 2dt=_9 设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 =x+1，f x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=_10 =_11 设曲线 L：y= (一 1x1)，则 L(x2+2xy)ds=_12 级数 在一 1x1 内的和函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求下列极限：14 求 15 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型16 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2 一 1)，讨论函数 f(x)
4、在 x=0 处的可导性17 证明：当 0x1 时，e 2x 18 求 19 证明： sinnxcosnxdx=2n sinnxdx20 设 ，判断两直线是否为异面直线，若是，求两条直线之间的距离21 把 f(x， y)dxdy 写成极坐标的累次积分，其中 D=(x，y)0x1，0yx22 计算 I= (x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx 一 3y2dxdy，其中为 z=2 一 在z=0 上方部分的下侧23 判断级数 的敛散性24 将 f(x)=lnx 展开成 x2 的幂级数25 求微分方程 x3y+2x2y一 xy+y=0 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 230 答案与解析
5、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)= 0，所以由极限的保号性，存在0，当 0 x 时， 0，当 x(一 ，0)时，f(x)f(0) ；当x(0，) 时，f(x)f(0) ，应选 (D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 =2 得 f(0)=0，由极限保号性，存在 0，当0x 时， 0，从而 f(x)0=f(0)，由极值的定义得 f(0)为极小值，应选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=
6、2，当0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =一 3，所以由极限的保号性，存在0，当 0 时，xy 20，所以当 0 时，有 f(x，y)f(0，0) ，即 f(x，y)在(0， 0)处取极大值，选 (A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)一 2(x)+2(x)，选(C) 【知识
7、模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2sinx 2+2x2cosx2【试题解析】 0xxsin(x 一 t)2dt=x0xsin(x 一 t)dt xx0sin2(d)=x0xsin2d，原式=(x 0xsin2d)=(0xsin2d+xsinx2)=2sinx2+2x2cosx2 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 f(x，y)=( x)yx 2sin2y【试题解析】 由 =(x+1)y+(x)，由 fx(x，0)=2x 得 (x)=2x，即 =(x+1)y+2x，再由 =
8、(x+1)y+2x 得 z=( +x)y+x2+h(y)，由 f(0，y)=sin2y 得h(y)=sin2y，故 f(x，y)=( +x)y+x2+sin2y【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 xln(1 一 x2)+x3 一 x3ln(1 一 x2)(一 1x1)【试题解析】 ，而ln(1 一 x2)(一 1x1)， x 2=一 ln(1 一 x2)一 x2(一 1x1) ， =xln(1 一 x2)+x3 一 x3ln(1 一 x2)(一 1x1)【知识模块】 高等数学三
9、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (6)由 ln(1+x)=x 一 +(x2)得 ln(12x)=一 2x 一 2x2+(x2)，于是arctan2x2x+ln(12x)一 2x4；【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 f(x)为初等函数，所以 f(x)的间断点为 x=0 和 x=1因为x0 时，1 一 =一 1，即 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为 f(1 一 0)= =1，所以 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 当 x一 1，0
10、 时，f(x)= (x+1)(x2+2x)，f (0)=1f (0)=一 1，因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 e 2x 等价于一 2xln(1 一 x)一 ln(1+x)，令 f(x)=ln(1+x)一ln(1 一 x)一 2x，f(0)=0，f (x)= 0(0x1)，由得 f(x)0(0 x1)，故当 0x1 时，e 2x 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 0 sinncosnxdx=2n1 0 sinn2xd(2x)=2n 10sinnxdx=2n 0 sinnxdx
11、【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 M 1(0，0，0)，s 1=1，0，一 1， M2(1，0，1)，s 2=2，一1，1， =1，0，1，s 1s2=一 1，一 3，一 1，因为 (s 1s2)=一 20，所以两直线异面过 M1 作直线 L2L 2，L 1 与 L2所成的平面为 ：一(x0)3(y0)(z0)=0，即 ：x+3y+z=0，所求的距离为 d=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D=(r ，)0 ，0rsec，则 f(x，y)dxdy= d0secrf(rcos， rsin)dr【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 0：z=0(x 2+y24)取上侧，则 I
12、= (x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx 一 3y2dxdy 由高斯公式得 (x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx 一3y2dxdy=一 (1+z)d=一 02(1z)dz dxdy=4所以原式=8【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 an= ，因为1，根据比值审敛法，级数 收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 x=et，则 xy=D，x 2y=D(D 一 1)，x 3y=D(D1)(D 一 2)，即xy=，原方程化为 +y=0，特征方程为 3 一 2 一 +1=0，解得特征值为1=1， 2=3=1，则方程 +y=0 的通解为 y=C1et +(C2+C3t)et，原方程的通解为 y= +(C2+C3lnx)x【知识模块】 高等数学
