1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 232 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导2 设 f(x)连续，f (0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x) 及直线 x=a，x=b 所
2、围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2mf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abmf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abmf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx4 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B） 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） f(x，y 0)存在5 微分方程 y一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+
3、c（C） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c二、填空题6 =_7 =_8 =_9 过点(2 ，0，3) 且与直线 垂直的平面方程为_10 改变积分次序 01dx f(x，y)dy=_11 设 =_12 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求 14 设 f(x)=0tanxarctant2dt，g(x)=xsinx, 当 x0 时，比较这两个无穷小的关系15 求 f(x)= 的间断点并判断其类型16 求常数 a， b 使得 f(x)= 在 x=0 处可导17 求 f(x)=01x 一 tdt 在0，1上的最大值与最小值18 求 19 设
4、f(x)在区间0，1上可导， f(1)=2 x2f(x)dx证明：存在 (0，1)，使得 2f()+f()=020 设 z=f(t2，e 2t)二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求 21 计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 =1 及 x 轴和 y 轴围成，其中a0，b022 设是球面 x2+y2+z2=4(z0)的外侧，计算 yzdzdx+2dxdy23 判断级数 的敛散性24 设函数 f(x)以 2 为周期，且其在一 ，) 上的表达式为 f(x)=x，求 f(x)的傅里叶级数，并求 的和25 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 t=0=0，已知阻力与速度成正比(比例系数为
5、1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程考研数学一（高等数学）模拟试卷 232 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (x2+x+1)=3=f(1)，所以 f(x)在 x=1处连续因为 =3，所以 f(x)在 x=1 处可导当 x1 时，f (x)=2x+1，因为 =3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续可导，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1 及 f(x)的连续性，得 f(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 0，从而 f(x)0
6、，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(一 ，0) 时，f (x)0，当 x(0，)时，f (x)0，x=0 为 f(x)的极小值点，选 (B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b，d=mg(x) 2 一 m一 f(x)2dx=2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，则 V=abd=ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，选(B) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数 f(x，y)=在(0，0)处可
7、偏导，但 不存在，(B)不对；f(x，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由 fx(x0，y 0)= =f(x0，y 0)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 y 一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=一 2， 2=2，y 一4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x，y 一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，应选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由 ln(1+x)=x 一 +(x2)得 x0 时， x2 一 xln(1
8、+x)=，则【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 一 16x+14y+11z+65=0【试题解析】 s 1=1，一 2，4，s 2=3，5，一 2，所求平面的法向量n=s1s2=一 16，14，11，则所求平面方程为一 16x+14y+11z+65=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 01dy0yf(x，y)dx f(x，y)dx【试题解析】 01dx f(x，y)dy= 01dy0yf(x，y)dx f(x，y)dx 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 (
9、x2y 2+z2)ds= ，原点到平面 x+y+z=1 的距离为 d= 的半径为 r= ，则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 令 x 一 2=t，对级数 ，所以收敛半径为 R=2，当 t2 时， 的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 x0 时，g(x)=x 一 sinx=x ，所以当 x0时，f(x)= 0tanxarctant2dt 与 g(x)=x 一 sinx 是同阶非等价的无穷小【知识模块】 高等数学
10、15 【正确答案】 x=一 1、x=0 、x=1、x=2 为 f(x)的间断点，【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0 一 0)=3b，f (0)= =3+2a，f (0)=10+6b，由 f(x)在 x=0处可导，则 3+2a=106b，解得 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 f(x)= 01x 一 tdt= 0x(xt)dt+x1(tx)dt=x2 一 一 x(1一 x)=x2 一 x+ 由 f(x)=2x 一 1=0 得 x= ，因为 f(0)= ，所以 f(x)在
11、0，1上的最大值为 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x2f(x)dx=c2f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1 上可导，由罗尔中值定理，存在(c， 1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 =2tf1+2e2tf2， =2f1+2t(2tf11+2e2tf12)+4e2tf2+2e2t(2tf21+2e2tf22)=2f
12、1+4t2f11+8te2tf12+4e2tf2+4e4tf22【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 t=1 一 ，则 x=a(1 一 t)2，dx= 一 2a(1 一 t)dt，于是 I=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 补充曲面 0：z=0(x 2+y24)取下侧，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 a 0= 0xdx=，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 (t)，阻力 F=ma 一解此微分方程得 (t)=0et ，由 0et = 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 S=0ln30et dt= 0【知识模块】 高等数学
