1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 238 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的是（A）设正项级数*a n 发散，则 an (nN)（B）设 (a2n-1a 2n)收敛，则 an 收敛（C）设 中至少一个发散，则 (a nb n)发散（D）设 a nbn收敛，则 均收敛2 下列命题中正确的个数是 若 an 收敛，则 an 收敛， 若 an 为正项级数，1(n 1，2，3，)，则 an 收敛， 若 极限 l0 ，且 vn 收敛，则 un 收敛， 若 nu nv n(n，2，3，)，又 vn 与 n 均收敛，则 un 收敛（A）1 个（B） 2
2、 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题3 _4 _5 02sin cosd_6 反常积分 _7 ()已知 与 0 分别有解 y 与 y，则方程 满足 y(0)1 的特解是 y_； ()已知 有特解 则该方程的通解是 y_8 已知(1)yyy0 的一个解是 y1，又知 e ( 21)，y* 21 是( 1)y yyf()的两个解，则 f()_，此方程的通解是 y_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f()为连续函数，解方程 f()2(e 1) 0( t)f(y)dt10 设 y()在0，) 上连续，在 (0，) 内有连续导数且满足 01y(t)dt， 求 y()11 在上
3、半平面上求一条凹曲线，其上任一点 M(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 MQ 长度的倒数，Q 是法线与 轴的交点，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行12 一容器在开始时盛有盐水 100 升，其中含净盐 10 公斤现以每分钟 3 升的速度注入清水，同时以每分钟 2 升的速度将冲淡的溶液放出，容器装有搅拌器使溶液中的盐水保持均匀，求过程开始一小时溶液的含盐量13 设 f(，y)在点(1 ，1)处连续且满足 f(，y)e y2 o()(0) 求：()df(，y) (1，1) ； ()J14 设 f(，y) ()求 ()f(，y) 在点(0，0)处是否可微?为什么? 若可微则求 df (0,
4、0)15 设 zf(y， ，) ，其中 f 有连续的二阶偏导数，求 16 设 zz(，y)由方程 F( )0 确定，其中 F 有连续偏导数，求17 设方程 ezyz 2 y2 确定隐函数 zz(，y) ，求 dz 及 18 设 yg(，z)，而 zz(，y)是由方程 f(z ，y)0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 19 设 f(，y)有二阶连续偏导数，满足 0，且在极坐标系下可表示成 f(，y)g(r)，其中 r ，求 f(，y)20 设 uu(，t)有二阶连续偏导数，并满足 其中 a0 为常数 ( )作自变量代换 at，at( )，导出 u 对 与 y 的一、二阶偏导数与 u
5、 对 ， 的一、二阶偏导数的关系式； ()导出 u 作为， 的函数的二阶偏导数所满足的方程； ()求 u(，t) 21 设 u(，y)在区域 D(，y)0y有连续偏导数，试证在区域 D，u(，y)( )的充要条件是： 0 (，y)D) 22 设有旋转抛物面 S：z (2，y 2)与平面 ：22yz60，P 0(0，y 0，z 0)是 S 上与平面 距离最近的点 ()求点 P0 及 S 与 的最短距离； ()、求 S存 P0、点的法线并证明它与平面 垂直23 在椭球面 22y 2z 2 1 上求一点使函数 f(，y，z) 2y 2z 2 在该点沿方向l(110) 的方向导数最大24 求函数 z
6、1( )在点 P( )处沿曲线 C： 1 在这点的切线方向和内法线方向的方向导数，其中 a0，b025 设 F(u，v)有连续偏导数，且满足 0，其中 a，b，c0 为常数，并有曲面 S： F(caz，cybz)0，求证： () 曲面 S 上 点处的法线总垂直于常向量； () 曲面 S 是以 ： 0，为准线母线平行于l(a bc) 的柱面26 设 l1(cos1，cos 1)，l 2(cos 2，cos 2)是两个不共线(即不平行)的向量，若在P0(0， y0)处， 0，求证： 027 设曲线 位于曲面 z 2y 2 上， 在 y 平面上投影的极坐标方程为 re * ()求 上柱坐标(r， z
7、)(1，0，1)的点 M0 的切线 L 的直角坐标方程； ()求在平面 ： yz 1 的投影 L的方程28 求 I 1ysin( 2y 2)ddy，其中 D 是由 y 3，y1 和 1 所围区域考研数学一（高等数学）模拟试卷 238 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 我们容易证明其中的选项 C 是正确的我们用反证法若( anb n)收敛，由 a na nb n，b na nb n 均收敛 均收敛因此应选 C【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 必须逐一考察每个命题 关于命题：考察交错级数收敛，但 发散，即
8、命题错误 关于命题：考察 1，但 发散命题 也是错误的 关于命题：考察 ， 有收敛，但 发散 因此，命题也是错误的 命题正确因为由 nu nv n 0u n nv n n， 又因收敛 (vn n)收敛， 由正项级数的比较原理 (un n)收敛 un 收敛 因此，命题正确的个数是 1故应选 A【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 因 sincos，故【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 8【试题解析】 因为 ， 且它是以 2 为周期的函数，故【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 先求不定积分【
9、知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ()y (sin1)；()y ，其中C 为 常数【试题解析】 () 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由 y(0)1C1因此特解为 y (sin1) ()由一阶线性方程解的叠加原理 从而 y1() 是相应齐次方程 0 的非零特解，又 y* 是原非齐次方程的一个特解，因此原方程的通解是 y ，其中 C 为 常数【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (1) 2；C 1C 2e 21【试题解析】 将 y* 21，(y *)2，(y *)2，代入方程得 (1)(y *)(y *)y * 221(1) 2 f()(1) 2 由非齐次方程 (1)
10、yyy(1) 2 的两个特解 与 y*可得它的相应的齐次方程 (1)yyy0 的另一特解 y *e 事实上，y 2(e )e 也是的一个解，又 e 与 线性无关，故非齐次方程的通解为 yC 1C 2e 21【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 先将原方程改写成 f()2(e 1) 0f(t)dt 0tf(t)dt 然后两边求导得 f()2e 0f(t)dt (*) 在原方程中令 0 得 f(0)0；又在上式中令 0 得f(0)2 再将(*) 式求导得 f() 2e f() 于是，问题转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题，即 其中，yf()特
11、征方程为210，特征根 1，非齐次项 ae，2，1 为单特征根，故有特解y*Ae ，代入方程得 A(2)e Ae 2e 比较上式两端系数得 A1，于是y*e 因此，通解为 yC 1eC 2e e 由初值 y(0)0，y(0)2 得C1 ，C 2 最后求得 yf() e 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 先作变量替换把 01y(t)dt 变成变限积分： 01y(t)dt 0y(s)ds 于是原方程变为 0y(s)ds 将方程两边求导得即在式中令 0，等式自然成立无需加其官附加条件是一阶线性方程，两边乘 ()得 因此y4 C (0，)，其中 C 为 常数【知识模块】 高等数学11 【正确答
12、案】 设所求曲线为 yy()，则它在点 M(，y)处的法线为 Yy() (X) (y0) 令 Y0，得与 轴的交点 Q(yy，0)， (y0 时也满足) 按题意得微分方程即 yy1y 2 按题意，初始条件是：y(1)1，y(1) 0 下解初值问题 这是不显含 的可降阶方程，解法是：作变换 y p，并以 y 为自变量，得代入方程得 y 1p 2 这是可分离变量的方程，分离变量得 由 y1 时 yp0 C11注意，由方程知，y0 时 y0，再由 y(1)0，则 1时 y0； 1 时 y0 于是 两边积分并注意 1 时 y1 解得 ln(y )(1)，即 y 由此又得 y 因此所求解y e1 e (
13、1) 即为所求曲线方程【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设 t 时刻容器中含盐量为 y(t)(公斤)，用微元法列方程依据是：t 到 t t 时间内 含盐量的变化量流入的含盐量流出的含盐量 先求任意时刻t 浓度的表达式按题意，t 时刻容器中溶液量为 1003t2t100t(升)，得 t 时刻容器中溶液的浓度为 t，tt 时间内，容器中含盐量的改变量 y(ty)y(y)2 t， 令t0 得又初始条件 y(0)10 这是可分离变量的方程(也是一阶线性齐次方程)，分离变量得 lny 2ln(100t)C 1(y0，t0)，即 y 由 y(0)10 C10 5因此，过程开始一小时溶液的含盐量为
14、(公斤) 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 () 由条件知， f(，y)f(1，1)e y2 (1，1) 1 由 g(，y) ey2 在(1 ，1)处可微，则 g(1，1 y)g(1，1)g (1，1)g y(1，1)yo() ， 其中 0，即 g(1 ，1y)g(1，1) yo()(0) f(1 ，1y)f(1 ， 1)g(1，1 y)g(1，1)o() yo()( 0) 因此 df(，y) (1，1) yddy 由此可得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 ()(，y)(0，0)时，因为 在点(0，0) 处连续 f(，y)在点(0，0)处可微【知识模块】 高等数学15 【正确答
15、案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 对方程求全微分得两边乘y得 因此z(，y)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性，得 ezdzdydz zd2d2ydy， 解出 dz 得代入 表达式得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 这里有三个变量(，y，z) ，两个方程式，确定两个因变量按题意， 为自变量， y，z 为因变量 由方程组 0，确定yy()，zz()两边分别对 求导得解这个二元一次方程组得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 将方程 0 转化为 g(r)的常微分方程因方程 0 转化为 g(r) g(r)0 这是以 g(r)为未知函数的一阶线性
16、方程，两边乘 (r) 得 g(r)Cr，g(r)C 1r2C 2， 因此，f(，y)C 1(2y 2)C 2，其中 C1，C 2 为 常数【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 由复合函数求导法得()由() 中的， 式得 ()把 式写成 0，即 与 无关， h() ，h()是连续可微的任意函数，再对 积分一次，并注意到积分常数可依赖 ，于是将 uf()g()，回到变量 ，t 得 u(， t)f(at)g(at)， 其中 f()，g()是二次连续可微的任意函数【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 () 必要性若 u(，y)( ) (，y) D)()充分性若 0 (y)D)，对 uu(
17、 ，y)作变换 是 s，t 的函数，u 作为 s，t 的函数， 有如下关系：【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 () 化为求解条件最值问题设 P(，y，z)为 S 上 点，P 到 的距离 d 22yz 6 求 d 存条件 2y 22z0下的最小值 求 9d2(22yz 6) 2 在条件 2y 22z0 下的最小值用拉格朗日乘子法，令 F(，y，z，)(2 2yz6) 2( 2y 22z) ， 解方程组4(22yz 6) 20， 4(2 2y z6)2y0， 2(22yz 6) 2A0， 2y 22z0 由，当 0时得 y，代入 ，得 进一步解得于是得 y2，z 4 另 0 时，对应显然无
18、解 因此得唯一驻点 P0(2，2，4) 由于实际问题存在最小值，该 P0 点就是 S 上与 距离最近的点P 0 点到 的距离d 2.( 2) 2.(2) 46 就是旋转抛物面 S 到平面 的最短距离 ()旋转抛物面 S： 2y 22z 0 上 点(，y，z)处的法向量为(2，2y，2)，S在点 P0 处的法向量 12(2，2，1) ， 的法向量露 2(2，2，1)， 12 因此 S在 P0 的法线 与 垂直【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 ()l 的方向余弦为 (cos，cos，cos) (1，1，0) 则f(，y，z)在 点(，y，z)沿方向 l 的方向导数()问题变成求 (y)在条
19、件 22y 2z 210 下的最大值点 用拉格朗日乘子法构造拉格朗日函数，令 F(，y，z，) (y)( 22y 2z 21) 解方程组由， 得 y ，由得z0，代入得 于是解得当(，y，z) 时； 当(，y，z) 时 因此，求得 处 (y) 取最大值【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先求曲线 C 的切向量与法向量，令 (，y) 1，则曲线 C： (，y)0 在点 P 处的法向量即grad P ，单位内法向量 n 与单位切向量 分别为再求 P 点处于是在 P 点处【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 令 G(，y，z)F(c az，cybz) ，则曲面 S 的方程是G(，y，
20、z) 0，S 上 点处的法向量是 n( )(cF 1，cF 2，aF 1bF 2) n.(a，b，C)0 n(a，b，c) S 上 点的法线总垂直于常向量(a，b， c) ()过曲线 上 点 (0，y 0，0)以 l(a ，b，C)为方向向量的直线 L 的参数方程是 0ta，yy 0tb，ztc， 要证 L 在 S 上在L 上， c c 0tca，cycy 0tcb，tc z， caz c 0，cy bzcy 0， F(caz，cybz)F(c 0，cy 0)0， 即 L 在曲面 S 上 另一方面，曲面 S 上点( 0，y 0，z 0)： F(c 0az 0，cy 0bz 0)0 记c0az
21、0c *，cy 0bz 0cy * (*，y *，0)在 上即满足 点( 0，y 0，z 0)在过点( *，y *，0)的直线 上，它的方向向量是 l c(a，b， c)， 即 S 上 点( 0，y 0，z 0)在过，上相应点( *，y *，0)以 l(a，b，c)为方向向量的直线上 因此，曲面 S 是以 为准线，母线平行于(a， b，c) 的柱面【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由假设条件及方向导数计算公式得这是满足的二元一次方程组， 系数行列式 0 (l1，l 2 不共线) 二元线性齐次方程组只有零解【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 ()M 0 的直角坐标为 (rcos ，
22、rsin，z) (r，z)(1，0，1)(1， 0，1) 关键是求 的参数方程 r()cose cos，yr()sine sin，z 2y 2e 2 在点 M0 的切向量 (0) ，y(0) ，z(0)(e (cossin)，e (sincos) ，2e 2) (1， 1，2)， 在 M0 处的切线方程是()过 L 与平面 垂直的平面 1，即过 L 上的点(1，0， 1)且与 L 的方向向量 l(1，1，2)及 的法向量 n(1，1，1)平行的平面，于是 1 的方程为 即 y10 因此 L 在平面 的投影 L的方程是【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 区域 D 如图 241 所示 被积函数有奇偶性，积分区域 D 看起来没有对称性添加辅助线 y 3(0)，将D 分解成：DD 1D2，其中 D 1(，y)10， 3y 3，D 1 关于 轴对称， D 2(，y)11， 3y1，D 2 关于 y 轴对称 又 ysin(2y 2)对，y 均为奇函数，于是【知识模块】 高等数学
