1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 23 及答案与解析一、填空题1 设直线 ，则过直线 L1 且平行于 L2的平面方程为_2 点 M(3，一 1，2)到直线 的距离为_3 两异面直线 之间的距离为_4 设点 M1(1，一 1，一 2)，M 2(1，0，3)，M 3(2，1，2)，则点 M3 到向量 的距离为_5 直线 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为_6 设直线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 垂直，则 l 的参数方程为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 f(x)在( 一 a，a)(a0)内连续，且 f(0)27 证明：对 0xa ，存在 01，使得 ；8 求
2、 9 10 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一 ， )有f(x) f(x) 1证明：f(x)1 11 设 f(x)在( 一，) 上有定义，且对任意的 x，y(一 ，)有f(x)f(y) x y证明： 12 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：13 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明：14 设 f(x)在(0，)内连续且单调减少证明：15 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时，16 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：17 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)0，令 。证明：18 设 f(x)
3、在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)1证明： 19 (x)在a，b上连续可导，且 f(a)0证明：20 (x)在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明：21 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：22 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明：23 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：24 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：25 设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕
4、x 轴旋转一周所得旋转体的体积26 求曲线 y3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积27 求椭圆 与椭圆 所围成的公共部分的面积27 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S28 求旋转曲面的方程；29 求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积30 计算31 计算32 计算定积分33 证明：34 证明：当 x0 时，f(x) 的最大值不超过 .35 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：f(tx1(1 一 t)x2)tf(x1)(1 一 t)f(x2
5、)证明：36 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 证明：37 令 f(x)x 一x ，求极限38 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?考研数学一（高等数学）模拟试卷 23 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 x 一 3yz20【试题解析】 所求平面的法向量为 n1，0，一 12，1，11，一 3，1，又平
6、面过点(1，2，3) ，则所求平面方程为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)(z 一 3)0，即：x 一 3y z20【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 【试题解析】 直线的方向向量为 s1，1，一 12，一 1，10，一 3，一 3，显然直线经过点 M0(1，一 1，1) ， ，则点M(3，一 1，2)到直线 的距离为【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 7【试题解析】 s 14，一 3，1，s 2 一 2，9，2 ，n 4，一 3，1一 2，9，2一 15，一 10，30 ，过直线 L2 且与 L1 平行的平面方程为 ：一 15x 一 10(y7)30(z 一 2)0，即
7、：3x2y 一 6z260，【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 x 2y 2 一 z21【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M0(x0，y 0，z) ，圆心为 T(0，0，z)，由 ，得x2y 2x 02y 02因为 M0(x0，y 0，z) L，所以 ，即x01，y 0z ，于是曲面方程为 ：x 2y 2 一 z21【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 直线 l1 的方向向量为 s12，0，11，一 1，3 1，一 5，一 2，直线 l2 的方
8、向向量为 s21，一 4，0，则直线 l 的方向向量为 ss 1s2(一 8，一 2，1) ，直线 l 的方程为 ，参数方程为【知识模块】 高等数学部分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 令 (x)e xf(x)，则 (x)e xf(x)f(x)，由f(x)f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (一) 0，则 (x)(x)一 (一)，两边取绝对值得 ，所以f(x)1【知识模块】 高等数学部分11
9、 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a) ，【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)f()x，其中 介入 0 与 x 之间，因为 f(0)0，所以f(x)f()xMx，x0，a ，从而【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
10、19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 (1)直线 yax 与抛物线 yx 2 的交点为(0，0)，(a，a 2)【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积.
11、【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 对任意的 x0，1 ，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)(x 2y 2) (2z2 一 2z1)于是【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)(xx 2)sin2nx0 得x1，xk(k1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除xk(k
12、1，2，)外 f(x)0)，于是 x1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 xx，1时，(xx 2)sin2nx(xx2)x2nx 2n1一 x2n2 ，【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 因为xmx m(其中 m 为整数)，所以 f(x)x 一x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn1，则【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W14003012000(J)设拉力对绳所做的功为 W1，任取 x，xdx 0，30，dW 250(30x)dx，则设拉力对污泥做功为 W3，任取t ，t dt 0，10，dW3(2 00020t)3dt，则 ，拉力克服重力所做的功为WW 1W 2W 391500(J)【知识模块】 高等数学部分
