1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 240 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在下列四个命题中正确的是（A）设 0(a，b)，函数 f()满足 f()0(a 0)和 f()0( 0b)，则 f()在点 0 处取得它在(a，b)上的最大值（B）设 f()在点 0 取得极大值，则存在正数 0，使函数 f()在( 0， 0)内单调增加，在( 0， 0)内单调减少（C）设 f()在区间(a，a)内为偶函数( 其中 a0 是一个常数)，则 0 必是 f()的一个极值点（D）设 f()在区间( a，a) 内可导且为偶函数(其中 a0 是一个常数) ，则 f(0)02
2、 设函数 f()在( ，)连续，其导函数 f()的图形如图 (1)所示，则（A）函数 f()有两个极大值点与一个极小值点，曲线 yf()有一个拐点（B）函数 f()有一个极大值点与两个极小值点，曲线 yf()有一个拐点（C）函数 f()有两个极大值点与一个极小值点，曲线 yf()有两个拐点（D）函数 f()有一个极大值点与两个极小值点，曲线 yf()有两个拐点二、填空题3 _4 _5 设 f()是满足 1 的连续函数，且当 0 时 f(t)dt 是与 An等价无穷小，则 A_与 n_6 设 f()连续，且当 0 时 F() 0(21cost)f(t)dt 是与 3 等价的无穷小，则f(0)_7
3、 函数 f() 的单调减少区间是_8 若方程 3 6215a0 恰有三个实根，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f () 0，求证：f(ah)f(ah)2f(a)10 求证：当 0 时，不等式 ln(e2) 3 2 成立11 证明当 0 时不等式 e (2a1)1 成立，其中常数 a012 利用柯西中值定理证明不等式： 1ln ，13 证明不等式(ab)e a+bae 2abe 2b 当 ba0 时成立14 设函数 f()在0 ，)有连续的一阶导数，在(0，)二阶可导，且 f(0)f(0)0，又当 0 时满足不等式 f() 4e f()2ln(1)
4、 求证：当 0 时 f() 2成立15 设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)f(1) 1， 求证：对任何满足 0k1 的常数 k，存在 (0，1)，使 f()k16 设函数 f()在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且 f(a)f(c)f(b)，其中 c 是(a，b)内的一点，且在a ，b内的任何区间 I 上 f()不恒等于常数求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使 f() 017 设函数 f()在0 ，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)0，求证：至少存在一点(0， 1)，使得(21)f()f() 018 设函数 f()在0 ，1上
5、连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)k 1 f()d (k1)， 证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()(1 1 )f()19 设函数 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，试证存在 ， ，(a，b)，使得f()e f()20 设函数 f()与 g()都在区间0，1 上连续，在区间(0，1)内可导，且 f(0)g(0)，f(1)g(1) 求证：存在 (0， )与 ( ，1)使得 f()f() g()g()21 设函数 f()在a，b上一阶可导，在(a ，b)内二阶可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f(b)0求证： () (a，b)使得 f()f()； () (a，b)使得
6、f()f() 22 求 ln(1 2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到 4 项23 求极限24 设函数 f()在 0 的某邻域中二阶可导，且 0，求 f(0)，f(0)与 f(0)之值25 ()确定常数 a，b，c 的值，使得函数 f()a 5(bc 2)tano( 5)，其中o(5)是当 0 时比 5 高阶的无穷小量； ()确定常数 a 与 b 的值，使得函数 f()(abcos)sin 当 0 时成为尽可能高阶的无穷小量26 设 f(a，b)在a，b上二阶可导，f(a)f(b)0证明至少存在一点 (a，b)使得f () f() 27 设函数 f()在0 ，1上有连续的三阶导数，且 f(0)1
7、，f(1)2，f( )0证明在区间(0 ，1)内至少存在一点 ，使得f()2428 设函数 f()和 g()在0 ， 1上连续，且 f() 3 21 01g()d，g()6 201f()d 求 f()和 g()的表达式考研数学一（高等数学）模拟试卷 240 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f()在区间( a，a)内可导且为偶函数，故 f()在(a，a)内必为奇函数，即 (a， a)有 f()f()特别对 0 有 f(0)f(0) f(0)0故应选 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由图(1)
8、知函数 f()有三个驻点 a，b，d，其导函数 f()有一个驻点c，如图(2)列表讨论函数 f()的单调性与极值，可得由此可见，函数 f()有两个极大值点与一个极小值点，于是可排除选项 B 与选项D 又由导函数 f()的图形知，在区间 ( ，0)内 f()单调减少，在区间(0，c上f()单调增加，在区间c，) 上 f()单调减少由于曲线 yf()是连续曲线，故曲线 yf()在(，0是凸弧，在0，c 是凹弧，在c，) 又是凸弧，这表明曲线 yf()有两个拐点 综合可知，应选 C【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2ln21【试题解析】 则不难
9、发现 TnSnTn(n1，2，)，其中 Tn 是把0 ， 1n 等分，且取k (k1，2，n)时 f01ln(1)d 对应的积分和，因函数 ln(1)在0，1上连续，故在0，1 上可积，则 01ln(1)d 01ln(1)d(1) (1)ln(1 ) 01 01d2ln21 此外，还有 2ln21，从而由极限存在的夹逼准则得 Sn2ln2 1【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 ；6【试题解析】 首先，由题设可得 现考察极限 I ，选取 A，n 使得极限 I 为 1由洛必达法则可得这表明 f(t)dt 当 0 时是与 等价的无穷小，即 A 与 n6【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试
10、题解析】 由等价无穷小的定义及洛必达法则可得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 (1，)【试题解析】 由 f()的分段表示知，f() 分别在( 1，0) 和0，) 连续，又因f()1f(0) ，即 f()在 f()0 也是左连续的，故f()在(1，)上连续 计算 f()的导函数，得引入函数 g()(1)ln(1 )，不难发现 g(0)0，且 g()ln(1)0，当10 时成立，这表明当10 时 g()g(0)0 成立，由此可得当10 时 f()0 也成立 由 f()在( 1，0连续，且 f()0 在(1，0)成立知 f()在(1，0单调减少；同理，由 f()在0，)连续，且 f()10 在
11、(0 ，)成立知 f()在0，)也单调减少 综合即得 f()的单调减少区间为( 1， )【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 8a 100【试题解析】 把方程改写成 f()a 的形式，其中函数 f()156 2 3由于 f()15123 23(5 )(1 )， 于是列表讨论可得且 f()， f() 从而，仅当8a100 时直线 ya 与曲线 yf()恰有三个交点，即原方程恰有三个实根【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 依次对函数 f()及导函数 f()利用拉格朗日中值定理就有 f(a h)f(ah) 2f(a)f(ah)f(a) f(a
12、h)f(a) f( 2)hf( 1)h hf( 2)f( 1)hf ()(2 1)， 其中 ah 1a，a 2ah， 1 2 由题设 f()0，又 2 10，因此当 h0 时原不等式成立当 h0 时可类似证明【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 令 f()ln(e 2)3 2 只需证明当 0 时 f()0 成立 由于 f(0)0，且在 f()的分子中 52 3(e21)0 当 0 时成立，而分母 e20 当 0 时也成立，故若 g()12e 2e 20 当 0 时还成立，即得 f()0 当 0 时成立，于是f()当 0 时单调增加 当 0 时 f()f(0)0 成立，即不等式成立得证 由于
13、g(0)0，g()4e 20 对 0 成立，故 g()在 0 单调增加，即 g()g(0)0 当 0 时成立 综合即得原不等式在 0 成立【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由于结论 0 时 e (2a1)1 当 0 时函数 F()e a 210注意 F()e 2a， F() 这表明导函数 F()在 ln2 处取得它在区间0， )上的最小值，即 F()F(ln2)22ln2 aa0 对 0 与 a0 成立故 F()在 0，)上单调增加，即对 0 有 F()F(0)0 成立，即要证明的不等式成立【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 原不等式等价于 1， ，0对函数 f(t)tln(t
14、)，F(t) 在0，上用柯西中值定理，得其中 介于 0 与 之间由由于当 0 时，0，ln()0；当 0 时， 0，ln( )0，因此总有 1 于是县当 0 时右 而当 0 时 1ln，故 1ln ，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 不等式可改写为 aea(ebe a)be b(ebe a)，因 ba0 时 ebe a，从而又可改写为等价形式 aeabe b把 b 改写为 ，引入函数 f()e ，即需证 f()f(a)当 a0 时成立 因为 f()(1)e 0 当 0 时成立，从而 f()在区间a，)(a0)上单调增加，故当 a 时 f()f(a)成立，即原不等式成立【知识模块】 高等
15、数学14 【正确答案】 由题设知，当 0 时 f () f()4e f()2ln(1) ， 即 f() 2 其中 ln(1)(0)，这是因为：记 g()=ln(1)(0)，则 g()1 0(0) ，故 g()在0，)单调增加，从而 g()g(0)0( 0) 由麦克劳林公式可得 f() f(0) f(0) f() 2 f()2 2(0)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 F()f()k，则 F()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F()f()k，F(0)1， (1k)，F(1)1k，即 F( )(0)(1) 由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在 c( ，1)使 F(c)F(0)，
16、从而 F()在区间0，c上满足罗尔定理的条件，于是，存在 (0，c) (0，1) 使 F()f()k0，即 f()k【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由题设知，可在a，c 上和c，b上分别对 f()用罗尔定理，于是存在 (a，c)，(c，b)使 f()f() 0，但 f()在， 上不恒等于常数，从而f()0这表明 g()f()在，上可导，不恒等于常数且 g()g()0为证明本题的结论，只需证明在(，) 内至少存在一点 使 g()0 即可 由题设知f()在a ，c上和c，b上分别满足罗尔定理的条件，于是存在 (a，c)，(c ，b)使 f()f()0 令 g()f() ，由题设及上面所得
17、结果知 g()是在， 上可导但不恒等于常数的函数，且 g()g() 0 若 (，) 使 g()0，在，上把拉格朗日定理用于 g()可得： (，)使否则，必 (，)使g() 0，在， 上把拉格朗日定理用于 g()也可得： (0，)使【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 F()e 2f()，则由题设知 F()在0，1上连续，在(0，1) 内可导，且 F(0)0，F(1)e 2f(1)0，即 F()在0，1上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点 (0，1)，使 F()(e 22e 2)f()e 2f()e 2(21)f() f()0，从而 (21)f()f()0【知识模块】 高等数学18
18、【正确答案】 令 ()e 1 f()，于是，()在0，1上可导，且 ()e 1 f()f()f()e 1 f()(1 -1)f()， (0，1) 又由题设和积分中值定理知，存在 0， ，使得 (1)f(1) k ()d()， 从而函数 ()在，1上满足罗尔定理的全部条件，所以 (，1) (0，1)，使得 ()e 1 f() (1 1 )f()0，即 f()(1 -1)f()【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 把要证的等式改写成 f() 现考察等式，令 g()e ，则由题设可知 g()与 f()在a， b上满足柯西中值定理条件，由此可知，必定存在 (a，b)，使得又 f()，e 都在a，b
19、上满足拉格朗日中值定理条件，由此可知必存在 (a，b) ， (a，b)，使得代入上述等式得 ef() 故有f()e f()【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 把 与 分离至等式两端可得 f()f() g()g() f()g()f()g() f()g() f()g() 对函数 F()f()g()应用拉格朗日中值定理，由于 F()在0， 上连续，在(0， 内可导，故存在 (0， )使得 又由于F()在 ，1上连续，在 ，1)内可导，故存在 ( ，1)使得将式与 式相加，即知存在 (0， )与 ( ，1)使得 0 f()g() f()g() f()f()g()g()【知识模块】 高等数学21
20、【正确答案】 () 要证 (a，b) 使得 f()f() f()f()在(a，b) 零点 e f()在(a，b) 零点 引入辅助函数 F() e f()，由题设知 F()在a，b上可导，且 F(a)e a f(a)0，F(b)e b (b)0，由罗尔定理即知 (a，b)使得F()0，即 f()f() 成立 ()要证 (a，b)使得 f()f() f()f()在(a ，b) 零点 (f()f()(f()f() 在(a，b) 零点 ef()f()在(a， b) 零点 为证明上述结论，引入辅助函数 G()e f()f()，由题设可知 G(a)e af(a)f(a)e af(a)，G(b)e bf(b
21、)f(b) e bf(b)， 于是 G(a)G(b)e a+b(a)f(b)0，即 G(a)与 G(b)必同时为正，或同时为负，而由()知 (a，b)使 G()ef()f() 0这样一来，当 G(a)与 G(b)同为负数时，C() 在a，b上的最大值必在(a，b)内某点处取得，记 C()在(a，b) 内的最大值点为 ，则必有 G()0 f()f()成立反之，当 G(a)与 G(b)同为正数时， G()在a ，b 上的最小值必在(a，b)内某点处取得，记 G()在(a ，b)内的最小值点为 ，则必有 G()0 f()f()成立【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 把 ln(1) 的麦克劳林公
22、式中的 换为 2，可得 ln(1 2) 2 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)4o( 2)4) 注意( 2)2 22 3 4， ( 2)2 3(1) 3 3(133 2 3) 33 4o( 4)， ( 2)4 4(1) 4 4o( 4)， o( 2)4)o(1) 44)o( 4)， 代入即得 ln(1 2) 2 (22 3 4) 33 4o( 4) 4o( 4)o( 4) 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 先考察【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 利用 sin 和 f()的麦克劳林公式 sin o( 3)，f()f(0)f(0) f(0) 2o( 2)， 代入可得即 f (0) 综
23、合得 f(0)2，f(0)0，f(0) 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 用求极限的方法确定常数 a，b，c 的值注意 f()o( 5)即0，由此可得 0这样就有故常数 a，b ，c 的值分别是 a ，b1，c ()先作恒等变形：f()asin bsin2 再利用泰勒展开式 由 sin o( 6)， sin22 o( 6)2 o( 6) 可得 f()(1ab) o( 5) 欲使 f()当 0 时是尽可能高阶的无穷小量，应设上式中 与 3 的系数为零，即 1ab0， 0解之得a ，b ，这时 f() o() 5 即 f()为0 时关于 的五阶无穷小量 故当 a ，b 时 f()是
24、0 时最高阶的无穷小量【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 f() 在a，b上连续，f()在a，b上亦连续，设 c 为f()在a， b上的最大值点若 ca，则 f()0，结论显然成立故可设 ac b，从而任给 (a，b)，有f()ff(c)，即f(c) f()f(c) 若 f(c)0，则f()f(c)，从而 f(c)为 f()的最大值；若 f(c)0，则有 f()f(c)，即 f(c)为 f()的最小值，由此可知，总有 f(c)0 把函数 f()在 c 展开为泰勒公式，得 f()f(c)f(c)(c) (c) 2f(c) (c) 2 (*) 若 ac ，令 a，则由(*)及题设有 f(a)
25、f(c) (ac) 2，即f(c) (ac) 2 由于ac ，0c a ，因此 f(c)于是f() f() 若 c b，令 b，则由(*) 及题设有 f(b)f(c) (bc) 2，即f(c) (b c)2 由于cb ，bc b ，因此【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 用泰勒公式按题设条件，展开点取为 0 ，被展开点分别取0，1以上两式相减，得 f(1)f(0) f(1)f( 2) 因 f(0)1，f(1)2，f( )0，故有 f( 1)f( 2)1，即f( 1)f( 2)48 于是 2maxf( 1)，f( 2)f( 1)f( 2)48， 即maxf( 1)，f( 2)24 由于 f() 在 1， 2 (0，1)上连续，所以，在区间(0 ，1) 内至少存在一点 ，使得 f()24 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 01f()dA， 01g()dB，于是 f()3 21B，g()6A 2 进而可得 A 01f()d 01 01(321B)d2B， B 01g()d 01(6A2)d2A ， 解之得 A ，B 故 f()3 2 ，g()9 2【知识模块】 高等数学
