1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 242 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 处间断（D）(x)f(x)在 x=a 处间断2 曲线 y=f(x)= (x+1)ln|x+1|+ (x1)ln|x1|的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题3 (1+2n+3n)1(n+sinn) =_4 =1 在点 M0(2a， b)处的法线方程为_ 5 设 f“(x)连续，
2、f(x)0，则 f dx=_.6 设 z=z(x，y)满足方程 2ze z+2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz|(1，2) =_7 设 L 是平面上从圆周 x2+y2=a2 上 一点到圆周 x2+y2=b2 上 一点的一条光滑曲线(a 0，b0)，r= ，则 I=Lr3(xdx+ydy)=_8 (n1)x n 的和函数及定义域是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列极限：9 10 10 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：11 12 13 14 设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得|f(y)|12|f(x)|试证： a，b ，使得 f(
3、)=015 设 f(x)在( ，+)内二次可导，令求常数 A，B ，C 的值使函数 F(x)在(， +)内二次可导16 求函数 f(x)=ex dt 在区间e，e 2上的最大值16 求引力：17 在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F= (M 为杆的质量)18 设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F=19 证明 In 02 cosnxsinnxdx= ，其中 n 为自然数20 已知不等式：当 x0 时(1
4、+x)ln 2(1+x)x 2，求证：x(0，1)时21 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用二段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?22 设 f(x)=x2sinx，求 f(n)(0)23 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)y(x)满足y(1+y)= +，其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求 y(x)24 设平面 经过平面 1：3x4y+6=0 与 2：2y+z11=0 的交线，且和 1 垂直，求 的方程25 已知函数 f(x，y，z)=x 2y2z 及方程 x+y+z3+e 3 =e(x+y+z) ，
5、(*)( )如果z=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=l，又 u=f(x(y，z)，y，z) ，求|(1，1，1) ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又w=f(x， y，z(x，y)求 |(1，1，1)26 设 a，b， c0，在椭球面 =1 的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小26 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分27 I= zdV，其中 ：x 2+y2+z22，x 2+y2z28 I= (x+y+z)dV，其中 ：x 2+y2+z22az， z(a0)29 设 L 为曲线 求积
6、分 I=L(x2+3y+3z)ds.考研数学一（高等数学）模拟试卷 242 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选 (D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( ，1)(1，1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令 f“(x)=0，解得 x1=0，x 2=2；f“(x) 不存在的点是 x3=1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点)f (3)(x)=f(3)(0)0，f (3)(
7、2)0因此选 (B)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 (1+2x+3x)1(x+sinx) 求得，但比较麻烦。事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即=(31 0)1=3【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 将方程对 x 求导【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 4dx2dy【试题解析】 方程两边求全微分得 2dze zdz+2ydx+2xdy=0 令 x=1，y=2，z=0得 dz|(1
8、，2) =4dx2dy【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 15(b 5a 5)【试题解析】 r 3(xdx+ydy)=12r 3d(x2+y2)=+r3dr2=r4dr=d(15r 5)， =Ld(15r 5)=1 5r5|r=ar=b=15(b 5a 5)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 x 2(1x) 2，x (1，1)【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 属型先通分，有【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 原式= 1=32【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 在
9、区间(0，+)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在 x=0 处 y 无定义，而x=0 是第一类间断点(可去间断点) 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 是初等函数，在(0，2)内 f(x)有定义处均连续仅在 tan(x )无定义处及 tan(x )=0 处 f(x)不连续在(0，2)内，tan(x)无定义的点是：x=34 ，74；tan(x )=0 的点是：x=4，54 因此f(x)的间断点是：x= 4，34，54，74 为判断间断点类型，考察间断点处的极限： 则 x=4，54 是第二类间断点(无穷型的) 则 x=34，74 是第一类间断点(可去型的)【知识模块】 高等
10、数学13 【正确答案】 先求 fg(x)表达式当x1，x1 时，fg(x) 分别与某初等函数相同，因而连续当 x=1 时，分别求左、右极限 故 x=1 为第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 反证法若在a，b 上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，x a，b，则 x0a，b，f(x 0)= f(x)0由题设，对此 x0， ya，b，使得 f(y)=|f(y)|12|f(0)|=12f(x 0)f(x 0)，与 f(x0)是最小值矛盾因此， a，b，使 f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 对任何常数 A
11、，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(， x0，(x 0，+)连续，分别在( ，x 0)，(x 0，+)二次可导从而，为使 F(x)在( ，+)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x0 右连续，由于 F(x00)=F(x 0)=f(x0)，F(x0+0)=C，故 F(x)在( ，+) 连续 C=f(x0)在 C=f(x0)的情况下，F(x) 可改写成F (x0)=f(x0)，F +(x0)=B故 F(x)在( ，+)可导 B=f(x0)在 C=f(x0)，B=f(x 0)的情况下，F(x)可改写成故 F(x)在(， +)内二次可导 2A=f“(x0) A=12f“(x 0)综
12、合得，当 A=12f“(x 0)，B=f(x0)，C=f(x 0)时 F(x)在 ( ，+) 上二次可导【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 如图 37 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点P 任取杆的一段x， x+dx，它对质点 P 的引力为因此，杆
13、与质点 P 间的引力大小为其中 M 是杆的质量【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 如图 38，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s 到 s+ds 的一段微元 ，它的质量为 M2rds，到 P 点的距离为于是整个圆环对 P 点的引力为【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成 In=02 cosn1 xcosxsinnxdx，两式相加得 2In现得递推公式 2In=1n+I n1 ，即 2nIn=+2n1 In1 令 Jn=2nIn，得 Jn= +Jn1 由此进一步得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 g(x)= ，则由
14、知当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1 连续，且 g(1)= 1， g(x)在 x=0 无定义，但若补充定义 g(0)=12，则 g(x)在0 ，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即 成立【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 ax，于是圆的半径 r=x2，正方形边长 14(ax)，问题是求面积S(x)=(x2)2+14(ax) 2，x(0，a)的最小值点由时面积和最小【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 =(1) n 1(2n+
15、1)2n，n=1 ，2，f (2n)(0)=0，n=1，2，f (1)(0)=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由题设等式可得(1+ y)y x从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)令 x=0，y=2 可确定常数 C= 2ln2，故 y=( 2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x) 2ln2+ln(4+x)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先求 1 与 2 交线的方向向量 1的法向量为3，4，0 ， 过 1 与 2 交线上的点(2，0，11)与向量4， 3， 6，3，4，0平行 的方程 即24x+
16、18y+25z227=0【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有()同()一样，求得 在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =1，故有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 先写出椭球面上 点(x，y，z) 处的切平面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式 V(x，y，z) 问题化为求V(x，y ，z) 在条件 =1 下的最小值点将椭球面方程改写成 G(x，y，z)1=0 椭
17、球面第一卦限部分上 点(x，y，z)处的切平面方程是其中(X， Y，Z)为切平面上任意点的坐标分别令 Y=Z=0，Z=X=0，X=Y=0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为为了简化计算，问题转化成求 V0=xyz(x0，y0 ，z0)在条件 =1 下的最大值点令 F(x，y，z，)=xyz+( 1)，求解方程组将方程，分别乘 x，y，z 得 x2a 2=y2b 2=z2c 2代入方程得因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)=()处相应的四面体的体积最小【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 是旋转体(如图 918)，选用柱坐标变换先求交线由 选择先 z后 r
18、， 的积分顺序， 的柱坐标表示：02，0r1，r 2z=01(2r 2)r 4rdr【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 关于 yz 平面与 zx 平面均对称用球坐标变换，球面 x2+y2+z2=2az 与锥面的球坐标方程分别为 =2acos，=4 的球坐标表示：02，04， 02acos，于是I=02d04 d02acoscos2sind=204 cossin(2a)4cos4d=8a 404 cos5dcos=86a 4cos6|04 =76a 4【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 在 L 上 y+z=0 I=L(x2+3y+3z)ds=Lx2ds+3L(y+z)ds=Lx2ds?易写出L 的参数方程：=adt于是 I=02a2cos2tadt=a 302cos2tdt=a3【知识模块】 高等数学
