1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 243 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 “f(x)在点 a 连续”是|f(x)|在点 a 处连续的() 条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充要（D）既非充分又非必要二、填空题2 3 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则整数 的取值为_4 11(x+ )2dx=_5 f(x)= 的极大值点是 x=_，极小值点是 x=_6 设 z=yf(x2y 2)，其中 f(u)可微，则 =_.7 设 r= 常数 使得曲线积分 L rdy=0 对上半平面的任何光滑闭曲线 L 成立。则 =_8 幂级数 x+ 的和函
2、数及定义域是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列极限：9 10 11 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： 0xf(t)dt=+.11 计算下列各题：12 设 y= 求 dydx；13 设 y= 求 dydx；14 设 y= ，其中 ab0，求 y15 把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程16 求星形线 L：x 23 +y2 3=a23 (a0) 所围区域的面积 A16 设 a0， f(x)在(0 ，+) 连续，求证：17 18 又设 f(a2x)=f(x)(x 0)，则19 证明定积分 I= sinx2dx020 设 f(x)在1，+)可导，d
3、dxxf(x) kf(x)(x 1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) (x1)21 求从点 A(10，0) 到抛物线 y2=4x 的最短距离22 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= =1，求 f(0)，f(0)，f“(0)23 设函数 f(x)连续，且 0xf(t)dt=sin2x+0xtf(xt)dt求 f(x)24 已知平面 ：x4y+2z+9=0，直线 L： 试求在平面 内，经过 L 与 的交点且与 L 垂直的直线方程25 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u55xy+5u=1 确定
4、求26 若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t nf(x，y)， (*)称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x ，y)为 n 次齐次函数=nf(x，y) (*)26 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分27 I= xyzdV，其中 ： x2+y2+z21 位于第一卦限的部分28 将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中 是由x2+y2+z2R2， x2+y2z2，z0 所围成的区域( 如图 919 所示)29 计算曲面积分 I= (x+y+z)dS，其中 为左半球：x 2+y2+z2=R2，y0考研数学
5、一（高等数学）模拟试卷 243 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x=a 连续 |f(x)|在 x=a 连续(|f(x)|f(a)|f(x)f(a)|)|f(x)|在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续如 f(x)= |f(x)|=1，|f(x)| 在 x=a 连续，但 f(x)在 x=a 间断因此，选 (B)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 5【试题解析】 令 2x3=y，则 =3+2=5【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 4【试题解析】 由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且
6、此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足3(=2，3时 f(x)不存在)因此，整数 的取值为 4，5，6，即整数 4【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2【试题解析】 原式= 1 1x2+2x +(1x 2)dx=1 1dx+21 1x dx=2(注意： 11x dx=0奇函数在对称区间上积分为零)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 e 12 ； e12【试题解析】 0|x|1 时 f(x)0，按定义 x=0 是极大值点，x0 时x=e12 是极小值点由于f(x)是偶函数，x=e 1 2 也是极小值点【知识模块】 高等数学
7、6 【正确答案】 z y 2【试题解析】 =yf(x2y 2)2x=2xyf(x 2y 2)， =yf(x2y 2)(2y)+f(x 2y 2)=2y 2f(x2y 2)+f(x2y 2)，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy=0 (上半平面是单连通区域)，即2r 2x 2=r 2+y2 r 2=r2 =1【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 0x dt(x( ，+)【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 属 00 型故原式= 而故原式=e 1 【知识模块】
8、 高等数学10 【正确答案】 属 0 型原式= ，而故原式=e 0=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 因 f(x)=AA2，由极限的不等式性质可知， X，当xX 时 f(x)A2，则 xX 时有 0xdt=0Xf(t)dt+Xxf(t)dt0Xf(t)dt+ (xX)，因此0xf(t)dt=+【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ln|y|=15ln|x5| ln(x2+2)，求导得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 把方程中的 dydx，d 2ydx 2，d 3ydx
9、 3 用dxdy，d 2xdy 2，d 3xdy 3 来表示由反函数求导法得 再由复合函数求导法及反函数求导法将它们代入原方程【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xa，0y402 cos3t3asin 2tcostdt=12a202 cos4t(1cos 2t)dt =38a 2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 按要证的等式，将等式左端改写可得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 按题设，对左端作变换【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 先作变量替换 被积函数在0，2 上变号， t(0，)时取正值，t( ，
10、2) 时取负值，于是把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 若补充定义f(0)=0，则 f(t)在0 ，连续，且 f(t)0(t (0，)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由已知不等式得 在(1，+)的子区间不恒为零，两边乘 =xk 得 在(1，+) 的 子区间不恒为零，又 xk+1f(x)在1，+)连续 xk+1f(x)在1，+)单调下降 xk+1f(x)x k+1f(x)|x=1=f(1)M(x1)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 抛物线上点 P(y24，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(，+)为
11、偶函数) 在(0，+)解 d(y)=0得 y= 于是 d( )=36，d(0)=100 又 (y)=+ d(y)在0，+)的最小值为36，即最短距离为 6【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由题设易知， ef(x)1=0，且 0，0|x| 时 f(x)0进一步有 f(x)=f(0)=0解用洛必达法则f“(0)=1因此 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)= 1【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 将 0xf(x t)dt x0(xu)f(u)(du)= 0x(xu)f(u)du=x 0xf(u)du 0xf(u)du 代入原方程即得 0xf(t)dt=sin2x+x0xf(u)du
12、 0xuf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+0xf(u)du=sin2x+0xf(u)du (在中令 x=0，得 0=0，不必另加条件 与同解)在式中令 x=0 可得 f(0)=0，由 式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x)故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)=25(e x+2sin2xcos2x)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 先求 L 的方向向量 ()求L 与 的交点 M0由 解得 M0(x，y，z)=(3，1，5)(
13、)所求直线的方向向量 L1=ln 所求直线方程为 或求出过 L 与 的交点 M0 且与 L 垂直的平面方程，它是2(x+3)+3(y+1)+2(z+5)=0，即 2x+3y+2z+19=0于是，所求直线方程为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将方程 u55xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u4ux5y+5u x=0，解得 ux= ，故 zx=f1+f3ux=f1+ f3在上式对 x 求导数时，应注意其中的f1，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是z“xx=f“11+f“13ux+(f“31+f“33ux)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】
14、设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t nf(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=nt n1 f(x，y)( t0)，令 t=1，则 xfx(x，y)+yf y(x，y)=nf(x，y)现设上式成立考察 (t)=f(tx，ty)t n (t0)，由复合函数求导法则可得 (t)=1t nxf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty) f(tx，ty)=1 t n+1txf1(tx，ty)+tyf 2(tx，ty)nf(tx，ty)=0，即 (t)为常数，(t)=(1)=f(x，y)，即 f(tx，ty)=t nf(x，y)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 积分域 是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以利用球坐标系【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 使用球坐标系 f(x，y，z)dV=02d04 sind0Rf(sincos，sinsin，cos) 2d【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 关于 xy 平面，yz 平面对称(如图 923)投影到 zx 平面，由 x2+y2+z2=R2，y0投影区域 Dzx：x 2+z2R2，于是=R R 2=R 3【知识模块】 高等数学
