1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 244 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列 xn，y n 满足 xnyn=0，则下列正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 1x n 为无穷小，则 yn 必为无穷小二、填空题2 arctan(xlnxsinx)=_3 04 dx=_4 曲线 y=3x+ +1 的渐近线方程为 _5 设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1 ，f x(1，2)=2 ，f y(1，2)=3 ，(x)=f(x， 2f(x，2f(x
2、，2x)，则 (1)=_6 设 D 为两个圆 x2+y21 及(x2) 2+y24 的公共部分，则 I= yd=_7 设级数 收敛，则 P 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列极限：8 9 10 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： 01f(nx)dx=A.10 计算下列各题：11 由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 dxdy；12 方程 yx ey=1 确定 y=y(x)，求 y“(x)；13 设 2xtan(xy)= 0xy sec2tdt，求 d2ydx 2.14 设 f(x)连续且 f(x)x=2，(x)= 01f(xt)d
3、t，求 (x)并讨论 (x)的连续性15 16 设两点 A(1，0，0) 与 B(0，1，1)的连线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转面为 S，求曲面 S 与 z=0，z=1 围成的立体的体积17 证明：() 02 lnsinxdx=02 lncosxdx；() 02 lnsin2xdx=02 lnsinxdx；()02 lnsinxdx= ln218 设 ae，0xy2，求证：a ya x(cosxcosy)a xlna18 设 f(x)=nx(1x) n(n 为自然数)，19 求 f(x)；20 求证： f(x)1e 21 求圆 x2+y2=1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x22 所围面
4、积取最小值，并求此最小值22 设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小23 设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= 试求：在(，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在 (，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=024 求点 M1(1，2，3)到直线 L：x1= 的距离25 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 dydx26 计算曲面积分 dSr 2，其中为圆柱面 x2+y2=R2 界于 z
5、=0 及 z=H 之间的部分，r 为曲面上的点到原点的距离(H0)26 求下列区域 的体积：27 ：x 2+y2a2，z0，zmx(m0)；28 ：由 y2=a2az，x 2+y2=ax，z=0(a0)围成；29 求 Pdx+Qdy 在指定区域 D 上的原函数，其中P，Q=1，D=(x ，y)|x0考研数学一（高等数学）模拟试卷 244 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 举例说明(A)，(B)，(C) 不正确x n：0，1，0，2，0，3，发散，yn： 0， 0,0， 0，0，0，收敛， xnyn=0(A)不正确x n：0
6、， 1，0，2，0，3，无界，y n：1，0，2，0，3，0，无界，xnyn=0(B)不正确x n：0，1，0，1，0，1，有界，yn： 1， 0，1 ，0，1，0，不是无穷小， xnyn=0(C)不正确因此，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 2【试题解析】 xlnx sinx=x(1 sinx)，由于 x+时，lnxx0，sinx 有界，故 lnx xsinx0 ，xlnxsinx+，于是 arctan(xlnxsinx)= 2【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 2e 2+2【试题解析】 原式02et2tdt=202tdet 4e22 02etdt=4e2 2e2
7、+2=2e2+2【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 y=3x+1【试题解析】 只有间断点 x=0， x=0 为垂直渐近线又 有斜渐近线 y=3x+1【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 302【试题解析】 (x)=f(x，u(x)，u(x)=2f(x，v(x) ，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1 ，2)=2， u(1)=2f(1，v(1)=2f(1 ，2)=2，(1)=f 1(1，2)+f 2(1，2)u(1)=2+3u(1)，u(1)=2f1(1，2)+f 2(1，2)v(1)=22+3v(1) ，v(1)=2f 1(1，2)+2f 2(1，2)=2(2+2 3)=16往
8、回代 u(1)=2(2+316)=100，(1)=2+3 100=302 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0【试题解析】 D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数 I=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 (1，+)【试题解析】 确定 an= 关于 1n 的阶由于而 an收敛 p1，因此 p 的取值范围是 (1，+) 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 先作变量替换： 01f(nx)dx=1n 01f(nx)dx 1n
9、0nf(t)dt这是型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 利用多元函数微分学的方法：x=x(y)由方程 F(x，y)=0 确定，其中 F(x，y)=x yy x，直接代公式得 约去 xy=yx 得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 e y=yx，两边取对数得 y=xlny对 x 求导( 注意 y=y(x)将 dydx 的表达式再对 x 求导得 注意 y=xlny，化简得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 注意 y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 =sec2(xy
10、)(1y) sec2(xy)(1y)=1，即1y=cos 2(xy) 再对 x 求导 y“=2cos(x y)sin(xy)(1 y) 代入式 y“=sin2(xy)cos 2(x y)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 (x)的表达式中，积分号内含参变量戈，通过变量替换转化成变限积分x0 时，(x)=1x 01f(xt)d(xt) 1x 0xf(s)ds；x=0 时，(0)= 01f(0)=f(0)由 f(x)在 x=0 连续及求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又=21=1=(0)即
11、(x)在 x=0 也连续，因此(x)处处连续【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 先作恒等变形，然后凑微分即得=12tan 2x+ln|tanx|+C【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 上任意点(x，y， z)与 z 轴的距离的平方为：x 2+y2=(1t) 2+t2=z2+(1z) 2，则 S(z)=z2+(1z)2，从而 V=01S(z)dz=01z2+(1z) 2=23【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 ()由题()与题()得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=sinx，而|sinx|1对 f(t)=at，
12、g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy 2 的 ，使得 即aya x=(cosxcosy) a lna1sin由于 axa ，0sin 1，故由上式可得aya x(cosxcosy)a xlna【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 先求 f(x)=n(1x) n1 1(n+1)x 0，得唯一驻点x=xn= 又 f(0)=f(1)=0，f(x n)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin 圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 dydx
13、= cossin=cot ，于是切线方程是它与 y=x22 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 x2+xcot2 =0 的根，并且切线与抛物线所围面积为为求 16() 3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得() 2=(+)24=cot 2+4(2+ )因此，所围面积最小值为 所求切线有两条：【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 f(x)在 x=a 可展开成 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ f“(a)(xa) 2+ f(n)(a)(xa) n+o(xa) n)(xa)由 xa 时 f(x)是(x a)的1,阶无穷小 f(a)=f(a)=f(n
14、1) (a)=0，f (n)(a)0又 f(x)在 x=a 邻域 n1 阶可导，f (n1) (x)在 x=a 可导证明由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n1 阶可导 g(x)=g(a)+g(a)(xa)+ g(n1) (a)(xa) n1 +o(xa) n1 )，即 f(x)=f(a)+f“(a)(xa)+ f(n)(a)(xa)n1 +o(xa) n1 )= f(n)(a)(xa) n1 +o(xa) n1 )因此 f(x)是 xa 的 n1 阶无穷小(xa)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连
15、续性，还应将其粘合在一起当 x1 时，方程y 2y=2 的两边同乘 e2x 得(ye 2x )=2e2x ，积分得通解 y=C1e2x1；而当 x1 时，方程 y2y=0 的通解为 y=C2e2x为保持其在 x=1 处的连续性，应使C1e21=C 2e2，即 C2=C1e 2 ，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 直线 L 过 M0 点(0，4，3)，以 l=1，3，2为方向向量，则点M1 到直线 L 的距离为 其中 =1，2，0 ，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得而t=
16、t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 r 2=x2+y2+z2关于 zx 平面，yz 平面均对称，则1：x 2+y2=R2，x，y0，投影区域Dzx：0xR ， 0zH，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 D xy：x 2+y2a2，x0 ，如图 927=(x ，y，z)|0zmx，(x，y)Dxy【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 =(x， y，z)|0z1a(a 2y 2)， (x，y) Dxy，D xy：(x )2+y2(a2) 2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 原函数u=x+ysin +C【知识模块】 高等数学
