1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 245 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=xsinx（A）在( ，+)内有界（B）当 x+ 时为无穷大（C）在 (，+)内无界（D）当 x时有极限2 若极限 =A，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f (a)=A（D）可导，且 f(a)=A3 设 f(x)为连续函数，I=t 0st f(tx)dx，其中 t0，s0，则，的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t，x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t二、填
2、空题4 xsinx_5 02 dx=_6 曲线 y=9 14x13 (x27)(x+)的拐点是_7 设 x=x(y，z)，y=y(z ，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 E(x，y， z)满足隐函数存在定理的条件，则 =_8 设 D 为 y=x3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= xyd=_9 设 bnx2n 的收敛半径R=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列极限：10 11 12 13 求双纽线 r2=a2cos2(a0) 绕极轴旋转所成的旋转面的面积14 证明| nn+psin(x2)dx|1n，其中 p015
3、 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少一个 c，使得15 设有参数方程 0t16 求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；17 讨论 y=y(x)的可导性与单调性；18 讨论 y=y(x)的凹凸性19 要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少，才能使水池造价最低?19 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：20 f(x)=sin3x；21 f(x)=xln(1x 2)22 设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f(4)(a)0，求证
4、：当 f(4)(a)0( 0)时 x=a 是 f(x)的极小(大) 值点23 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)= dxdy，试求 f(t)24 求点 M1(2，1，3)到平面 ：2x2y+z3=0 的距离与投影25 若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数。求证： x =0 (r0)26 设 S 为柱面 x2+y2=a2(0zh)的外侧，满足 x0 的部分，求I= zdydz+xyzdzdx+ydxdy26 求下列区域 的体积：27 ：由 z=x2+y2，x+y+z=1 所围成；28 ：由曲面 z=y2(y0)，z=4y 2(y0)，z=x ，z=2x，z=4
5、 所围成29 选择 a，b ，使 Pdx+Qdy 在区域 D=(x，y)|x 2+y20内为某函数 u(x，y)的全微分，其中考研数学一（高等数学）模拟试卷 245 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 xn=2n+ (，+)(n=1，2，3，)，则 f(xn)=(2n+ (n) 因此 f(x)在( ，+) 无界选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 I= 0st f
6、(tx)dtx 0sf(u)du，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限 xx=1 及重要极限sinxx=1 即得 =11=1【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 原式= 02=ln(1+e t )|01=ln【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 这里 y(x)在(，+)连续，(y(0)，y“(0)均不)，y(x)在 x=0 两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 由隐函数求导法知(如，由 e(x，y，z)=0 确定x=x(y，z)，
7、将方程对 y 求偏导数得 其余类似)将这三式相乘得 =1【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 0【试题解析】 D 如图 91 所示添加辅助线 y=x 3(x0)，将 D 分解成D=D1D2，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 考察 bntn(t=x2)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 属型【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 x=1t，则所以原极限=e 13 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【
8、知识模块】 高等数学13 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0，4面积S=22 04 r()sin d由r2=a2cos2 2rr=2a 2sin2，r=a 2sin2r，r 2+r2 =a4r 2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 nn+psin(x2)dx|nn+psin(x2)dx|注由此不等式可知nn+psin(x2)dx=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 要证f(x)f(x)+k 在(x 1，x 2)零点 ex f(x)f(x)+k=e x (f(x)k) 在(x 1，x 2)零点令 F(x)=ex f(x)k ，则 F(x)在x 1，x 2可导
9、考察 F(x1)F(x 2) 因此，由罗尔定理 c(x1，x 2)，F(c)=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 dxdt=3cos 2t(sint)0 ，(t 0，)，仅当 t=0， 2， 时为零x 是 t 的单调(减) 函数，反函数 t=t(x) y=sin3t(x)=y(x)，x 1，1 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 当 t0，2， 时 dxdtt0反函数 t=t(x)可导 y=y(茗)可导注意 y=y(x)在1，1连续，t与 x 的对应关系：0x1 时 y(x)单调下降，1x0 时 y(x)单调上升【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 y=
10、y(x)在1， 0，0，1均是凹的 y=y(x)的图形如图 4 2【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2，水池总造价为 y，则 y=2rha+2ar2又知 V0=r2h，代入上式得y=2a( +r2)，0r+现求 y(r)在(0，+) 上的最小值点求 y(r)：因此，当时，y 取最小值，即水池造价最低【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 f(x)f(a)=f(a)(xa)+ f“(a)(x a)2+ f“(a)(xa)
11、3+ f(4)(a)(xa)4+o(x a)4)=14!f (4)(a)(xa) 4+o(xa) 4)=(xa) 414!f (4)(a)+o(1)其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0|xa| 时 f(x)f(a)=(xa) 414!f (4)(a)+o(1) 因此 f(4)(a)0(0)时 f(a)为极小(大)值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 先用极坐标变换将二重积分转化为定积分=02d02tf(12r)rdr (t0)=202tf(12r)rdr代入原方程得 两边对 t 求导得在前一个方程中令 t=0 得 f(0)=1 求 f(t)转化为求解初值问题+这是一阶
12、线性方程，两边乘 由 f(0)=1 得 C=1因此 f(t)=【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 点 M1 到平面 的距离 平面 的法向量 n=2，2，1，过 M1 点以 n 方向向量的直线 L 的方程为 代入 的方程 2(2+2t)2(1 2t)+(3+t) 3=0 ，解得 t= 29，代入 L 的方程得 L 与 的交点即点 M1 到平面 的投影点(149，139，259)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 =0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 S 如图 925，S 垂直 xy 平面，于是 ydxdy=0，I= zdydz+x
13、yzdzdx投影到 yz 平面直接计算较为方便S 表示为x= ， (y，z) Dyz，其中 Dyz：0zh，aya代公式得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 消去 z 得 x2+x+y2+y=1，即于是 在 Oxy 平面上的投影区域 (如图 928)是围成 区域的上曲面是 z=1xy，下曲面是 z=x2+y2，因此 的体积【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 如图 929，=(x，y，z)| ，(z ，x)D zx，Dzx=(z，x)|z2xz ，0z4 的体积为或 也可表示成(如图 930)：=(x，y，z)|z 2xz， (y，z)D yz，【知识模块】 高
14、等数学29 【正确答案】 先确定 a，b，使 ，(x，y) D =1(x 2+y2)4(2y+2x)(x2+y2)22(x 2+y2)2y(y 2+2xy+ax2)=2(x 2+y2)2(x+y)(x2+y2)2y(y 2+2xy+ax2)，= 1(x 2+y2)4(2x+2y)(x2+y2)22(x 2+y2)2x(x2+2xy+by2)=2(x 2+y2)3(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)， (x+y)(x2+y2)2y(y 2+2xy+ax2)=(x+y)(x 2+y2)+2x(x2+2xy+by2) 2(x2+xy2+yx2+y2)2y 34xy 22ax 2y=2x3+4x2y+2bxy2 2xy 2+2(1a)x 2y=4x2y+2bxy2 2(b+1)xy22(a+1)x 2y=0 a=1，b=1此时因 D 不是单连通的， 在 D 成立不足以保证 Pdx+Qdy 原函数进一步讨论是否可直接求出原函数取特殊路径如图 1011 及 u(x，y)=0 xP(x，1)dx+1 yQ(x，y)dy(第二个积分中 x 为常量)，将因此 u= +C 为 Pdx+Qdy 在区域 D 的原函数【知识模块】 高等数学
