1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 246 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 均不连续，则在 x=x0 处（A）f(x)+g(x)，f(x)g(x)均不连续（B） f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定（C） f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续（D）f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定2 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D
2、）P(x 0)03 下列函数中在1，2 上定积分不存在的是二、填空题4 5 01xarcsinxdx=_6 数列 1， 的最大项为_7 函数 z=1(x 2+2y2)在点 M0( )处沿曲线 C： x2+2y2=1 在该点的内法线方向 n的方向导数为_8 I= |xy|dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列极限：9 (a，b，c 为正的常数)10 11 12 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为112，求： () 切点 A 的坐标； () 过切点 A 的切线方程； ()由上述图形绕 x轴旋转的旋转体的体积13 证明
3、0 dx=014 设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2012 f(x)dx，求证： (0，1) ，使得 f()=2f()15 设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t 0，b，问 t 取何值时，图中阴影部分的面积最大? 最小?15 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：16 f(x)=excosx (x3)；17 f(x)= (x3)；18 f(x)= 其中 a0 (x 2)18 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：19 f(x)=ex1x xsinnx；20 f(x)=(1+ )cosx121 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 某邻域有二阶
4、连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线 y=f(x)和 y=g(c)在点(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0)2)(xx 0)22 已知 y1*=xex+e2x，y 2*=xex+ex ，y 3*=xex+e2xe x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程23 求直线 L： =y2=z3 绕 z 轴旋转一周所得旋转面的方程24 作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x y，w=xyz，变换方程为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程，其中 z 对 x，y 有连续的二阶偏导数25 求曲面积分
5、 I= (x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中 S 为 x+y+z= 在第一卦限部分，取上侧25 设有平面光滑曲线 l：x=x(t)，y=y(t) ，z=0，t， ，以及空间光滑曲线L：x=x(t)，y=y(t)，z=f(x(t)，y(t)，t ，t=，t= 分别是起点与终点的参数26 试说明 l，L 及曲面 S：z=f(x，y)的关系；27 若 P，Q，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： LP(x，y，z)dx+Q(x ，y，z)dy+R(x，y， z)dz=lP(x，yf(x，y)+ R(x，y，f(x，y)+Q(x，y，f(x，y)+
6、R(x，y，f(x，y)dy28 求向量的散度与旋度已知层=qr 3r，其中 r=x，y，z，r=|r| ，q 为常数，求divE 与 rotE29 将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域.考研数学一（高等数学）模拟试卷 246 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如：f(x)= 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x)g(x)=0 在 x=0 均连续又如：f(x)=在 x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)=在 x=0 均不连续因此选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案
7、】 D【试题解析】 注意 P(x)在 ( ，+)连续，又 P(x)=+ xx 0 时 P(x)0选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(A) ， (B)，(C) 中的 f(x)在 1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在1， 2均可积，即 1 2f(x)dx选(D) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时，(23) x1，于是有【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 4【试题解析】 其中 01 dx 是 14 单位圆的面积即 4【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 3 13【试题解析】 考察函数 f(x)=
8、x1x (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值由f(x)在1，e单调上升，在e， +)单调下降，f(x)=x 1x 在 x=e 取最大值，它的相邻两点是 x=2，3现比较f(2)=212 =816 f(3)=3 1 3=916 ，因此，最大项是：3 13 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 M 0 在曲线 C 上，C 在 M0 点的内法线方向 n=grad(x 2+2y21)=(2x，4y) 单位内法向以 n0=n|n|=按方向导数计算公式【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 16【试题解析】 区域如图 92 所示，由对称性与奇偶性 其中D0：0y1x，0x1 于是I=
9、401dx01x xydy=40112x(1x) 2dx=23 01xd(1x) 3=23 01(1x)3dx=23 1 4(1 x) 4|01=16【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 属 1型极限原极限=e A，而因此，原极限=(aabbcc)1(a+b+c) 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 被积函数中含有参数 x，把因子 提到积分号外后，易见所求极限为“”型未定式应当想到洛必达法则，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 x=asint(|t|2)，则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 如图
10、39(I)设点 A(x0，x 02)，点 A 处的切线方程y=x02+2x0(xx 0)，即 y=2x0xx 02令 y=0 截距x=x0 2按题意 解得x0=1 A(1，1)(II)过 A 点的切线 y=2x1()旋转体体积 V=01(x2)2dx【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 使用和差化积公式由于 sin2nx=sin2xsin2x+sin4xsin4x+sin(2n2)xsin(2n2)x+sin2nx =sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+2cos(2n3)xsinx+2cos(2n1)xsinx， 所以I=20cosx+cos3x+cos5x+cos(2
11、n1)xdx=0 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在0，1可导，且 F(1)=e1 f(1)=2e1 012f()=F()， 0，12因此，由罗尔定理， (0，) (0，1)，使得 即 f()=2f()【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由于 S(t)=0tf(t)f(x)dx+ tbf(x) f(t)dx=tf(t) 0tf(x)dx+tbf(x)dx+(tb)f(t)在0，b 可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)f(t) f(t)+f(t)+(tb)f(t)则 S(t)在0，b2“”，在b2，b“ ”，因此 t=b 2 时， S(t
12、)取最小值 S(0)=0bf(x)dxbf(0)，S(b)=bf(b) 0bf(x)dx，S(b)S(0) 不能肯定即 t 取何值时 S(t)最大不能确定，但只能在 t=0 或 t=b 处取得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 f(x)=e xcosx f(x)=ex(cosxsinx)，f“(x)=2sinxe x，f“(x)=2e x(sinx+cosx) f(0)=1，f(0)=1，f“(0)=0，f“(0)= 2 因此 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x2+ f“(0)x3+o(x3)=1+x x3+o(x3)【知识模块】 高等数学17 【正确答
13、案】 f(x)=131x+x 2x 3(1+2x+(2x) 2+(2x)3)+o(x3) =13(3x3x 29x 3)+o(x3)=xx 23x 3+o(x3)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶。确定 n 使得下面的极限而不为零：ex1x xsinx 是 x 的 3 阶无穷小【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶确定 n 使得下面的极限且不为零因此，cosx+cosx1 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 相
14、交与相切即 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)若又有曲率相同，即亦即|f“(x 0)|=|g“(x0)|由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f“(x0)=g“(x0)=0 或 f“(x0)与 g“(x0)同号，于是 f“(x0)=g“(x0)因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x) 在(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率 (x0)g(x 0)=0，f(x 0)g(x 0)=0，f“(x 0)g“(x 0)=0 f(x)g(x)=f(x 0)g(x 0)+f(x)g(x) (xx 0)+ f(x)g(x)“ (xx 0)2+o(xx 0)2=o(xx 0)2)
15、 (xx 0)即当 xx 0时 f(x)g(x) 是比(x x 0)2 高阶的无穷小【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*y 3*=ex ，y 2*y 3*=2ex e 2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=ex ，y 2=2(y1*y 3*)(y 2*y 3*)=e2x， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4*=y1*y 2=xex 因此该非齐次方程的通解是y=C1ex +C2e2x+xex，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y“+py+gy=f(
16、x) 它的相应特征根是 1=1， 2=2，于是特征方程是 (+1)( 2)=0，即 22=0 因此方程为 y“y2y=f(x) 再将特解y4*=xex 代入得 (x+2)e x(x+1)e x2xe x=f(x)，即 f(x)=(12x)e x 因此方程为y“ y 2y=(12x)e x【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 记所得旋转面为， 取点 M(x，y，z) ，它是直线 L 上某点(x0，y 0，z 0)绕 z 轴旋转而得，于是 x0，y 0，z 0 满足x0=2， y0=2 3x0，代入得 x2+y2=4+ z2 反之，若(x，y，z)满足 ，则它必是L 上的点(2 ， 23z ，
17、z)绕 z 轴旋转而得因此，的方程是 x2+y2=4+ z2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由于 z=xyw，则【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 平面 S 的单位法向量 n=(cos，cos ，cos)= (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 下面求 I2投影到xy 平面上化为二重积分S 的投影区域为 Dxy，如图 926，则有I2= cosy(z x)+cos(x+y)(z y)+cosxdxdy 其中由 z=(x+y)得 zx=1，z y=1由于 Dxy 关于 y=x 对称，则有于是cosxdxdy=0dy0y cosxdx=0sinx|0y dy=0siny
18、dy=2， cos(x+y)dxdy=0dx0x cos(x+y)dy=0sin(x+y)|0x dx= 0sinxdx=2因此 I2=22(2)=6【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线，定向相同以 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 按线积分化定积分公式得 LP(x，y，z)dx= P(x(t)，y(t)，f(x(t) ，y(t)x(t)dt=lP(x，y，f(x ，y)dx LP(x，y，z)dy= Q(x(t)，y(t) ，f(x(t)，y(t)y(t)dt=lQ(x，y，f(x，y)dy LP(x，y，z)dz三式相加即得证【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 E=qr 3x，y，z，【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina由 sinx 与 cosx 的展开式得其中 m=0，1 ，2，3，因此 sin(x+a)【知识模块】 高等数学
