1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 247 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 n时(1+ )ne 是 1n 的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小2 设 f(x)=3x2+x22|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D）33 下列函数中在2，3 不存在原函数的是4 下列各项中正确的是二、填空题5 设 dt=4，则 a=_，b=_6 dx(n0)=_7 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程8 过曲面 z ez+2xy=3 上点 M0(1，2，0) 处的切平面方程为_9 设
2、D：0x1，0y1 ，则 I= d=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列极限：10 (a10 ，a 20)11 12 求 01( )4dx13 设常数 ab，曲线 ：y= (x，) 的弧长为 l14 已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3 ，0)，方程为 y=a(x1)(x3)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积15 设 f(x)= 讨论 f(x)与 g(x)的极值16 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在( ，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 1)2f(x)，证明： x0(2，52)
3、使得F“(x 0)=016 求下列极限：17 18 19 20 求 f(x)=3x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式20 求下列微分方程的通解或特解：21 4y=4x 2，y(0)=12，y(0)=2；22 +2y=ex cosx23 求解初值问题24 求以曲线 ： 为准线，l，m，n 为母线方向的柱面方程25 设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件： F(u，v)=0，其中 F有连续的偏导数且26 求曲线积分 I=Cxydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2+y2=1，x+y+z=1，逆时针方向.26 求下列平面上曲线积分27 I=Ly22xysin(x
4、2)dx+cos(x2)dy，其中 L 为椭圆 =1 的右半部分，从A(0， b)到 B(0，b)28 I= ，其中 A(0，1)，B(1，0)， 为单位圆在第四象限部分29 将函数 f(x)= 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 f(n)(1)考研数学一（高等数学）模拟试卷 247 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是要计算极限因此选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)=x2|x|= 时，g (n)(0)的最高阶数n 由于|x|在 x=0 处不可导，因此 n=2选
5、(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 先考察 f(x)的连续性关于(A) ：=12=f(0)，f(x)在2，3连续，存在原函数(B)中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在2，3存在原函数显然，(D)中 g(x)在2，3可积，f(x)= 0xg(t)dt 在2， 3连续 f(x)在 2，3存在原函数选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确|2u nvn|un2+vn2 2unvn 收敛 (un+vn)2= (un2+vn2+2unvn)收敛【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 12；1【试题解析】 利用洛必达法则可得
6、又当 a0 时a=12 且 b=1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1n(x nln|1+x n|)+C【试题解析】 原式=1n dxn=1n(x nln|1+x n|)+C【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 、【试题解析】 这四个方程中只有、 对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2x+y4=0【试题解析】 曲面方程 F(x，y，z)=0 ，F(x，y，z)=ze z+2xy3，gradF=2y，2x，1e z，gradF =4，2，0=22 ，1，0点 M0 的切平面方程为 2(x1)+(y 2)=0，即 2x+y4=0
7、【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 12【试题解析】 D 关于直线 y=x 对称【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 已知：只需再求 a1=a2 的情形：【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 注意 sintt，ln(1+t)t(t0) ，于是因此，先用求极限的四则运算法则，再利用等价无穷小因子替换可得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (I)：y 2=(xa)(bx)=x 2+(a+b)xab，两边对 x 求导得2yy=2x+a+b，(II)曲线：y= 为圆心，半
8、径为(ba)2 的半圆周由题(I)：=a，=(a+b)2，则对应的 长【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 1)抛物线方程 y=a(x1)(x3)(a0 或 a0 为常数)，如图 310所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S1，即S1=01|a(x1)(x3)|dx=|a| 01(1x)(3x)dx= 12|a| 01(3x)d(1 x)2=1 2|a|( 3) |a|01(1x) 2dx=12|a|(3 )=43|a|3)求 x 轴与该抛物线所围面积 S2，即 S2=13|a|(x1)(x3)|dx=|a| 13(x1)(3x)dx=|a| 1312(3x)d(x1)2=12|a| 1
9、3(x1) 2dx=|a| 213(x1 3)|13=43|a| 4)因此，S 1=S2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 () 对于 f(x)：当 x0 时，f(x)=e x0，从而 f(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时 f(x)=(x+1)ex，令 f(x)=0，得 x=1当 x1 时 f(x)0，当1x0 时 f(x)0，故 f(1)=e 1 为极小值 再看间断点 x=0 处，当 x0时 f(x)=xex0=f(0)；当 x0 且 x 充分小时，f(x)=e x20，故 f(0)=0 为极大值 ()对于 g(x)：当 x0 时 g(x)=e x0，从而 g(x)在(0，+)内
10、无极值 当 x0时与 f(x)同，g(1)=e 1 为极小值 在间断点 x=0 处 g(0)=1当 x0 时 g(x)1；当 x0 且|x|充分小时 g(x)为负值且|g(x)|1，从而有 g(x)1故 g(0)非极值【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 显然 F(0)=F(2)=0，于是由罗尔定理知， x1(0， 2)，使得 F(x1)=0又 F(x)=2(sinx1)cosxf(x)+(sinx1) 2f(x)，对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x0*(x1， 2) (0，2)，使得 F“(x0*)=0注意到F(x)以 2 为周期，F(x) 与 F“(x)均为以
11、 2 为周期的周期函数，于是 x0=2+x0*，即 x0(2，52)，使得 F“(x0)=F“(x0*)=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 用洛必达法则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数因此当 x0 时 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x2+ f“(0)x3+o(x3)，arctanx=x x3+o(x3)，arctanxsinx= x3+o(x3)，=x2x 3+o(x3)， ln(1+x)2 +1=x 3+o(x3)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20
12、 【正确答案】 由于 f(m)(x)=3x(ln3)m，f (m)(0)=(ln3)m，则【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 相应齐次方程的特征方程 24=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y*=ax2+bx+c，代入方程得 2a4(ax 2+bx+c)=4x2 4a=4，b=0，2a4c=0 a=1，c= 12 y*=x 2 通解为y=C1e2x+C2e2x x 2 由初值 y(0)=C1+C2 =12，y(0)=2C12C 2=2， C1=12，C 2=12因此得特解【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 相应齐次方程的特征方程 2+3+2=0，特征根
13、1=1， 2=2由于非齐次项是 ex cosx，1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y*=ex (acosx+bsinx)代入原方程比较等式两端 ex cosx 与 ex sinx 的系数，可确定出 a=12，b=12，所以非齐次方程的通解为y=C1ex +C2e2x + ex (sinxcosx)，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p=dydx，并以 y 为自变量变换原方程最后得 y= (0x2)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线 的参数方程为 过 上 点(t 22p，t，0)，以l，m，n 为方向
14、向量的直线方程为由得=zn ，代入得 t=y z，最后代入得该柱面方程【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 其系数行列式必为零，即【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 C 的参数方程为I=02costsint(sint)+sint(1costsint)cost+cost(1 costsint)(sintcost)dt= 02(costcos 2tcostsint)(sintcost)dt= 02cos2tdt+02cos3tdt=+ 02(1sin 2t)dsint= 【知识模块】 高等
15、数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 I= Ly2dx+Lydcos(x2)+cos(x2)dy (2t 2)，如图 101，则 I=2 2 b2sin2ta(sint)dt+ycos(x 2)|(0，b) (0，b)=2b【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 在单连通区域：xy0 上积分 Pdx+Qdy 与路径无关取 ：xy=1(0x1)I=ABPdx+Qdy =01dx=1【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 将 f(x)视为 即可因为 利用公式，并以(x1)3 代替其中的x，则有由于 f(x)的幂级数 an(x1) n 的系数 an=f(n)(1)n!，所以 f(n)(1)=(n!)an=n!3 n【知识模块】 高等数学
