1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 248 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则下列结论(1)x=1 为可去间断点(2)x=0 为跳跃间断点(3)x=1 为无穷间断点中正确的个数是（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)= 在 x=0 处可导，则 a，b 满足（A）a=0 ，b=0（B） a=1，b=1（C） a 为 常数，b=0（D）a 为 常数， b=13 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零4 若级数 an(x1) n 在 x
2、=1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定二、填空题5 函数 f(x)= 的连续区间是_ 6 02sinnxcosmxdx(自然数 n 或 m 为奇数)=_7 已知(x 1)y“xy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 =ex(x 2+x+1)，y *=x 21 均是(x1)y“xy+y=(x1) 2 的解，则此方程的通解是 y=_8 过曲面 z=4x 2y 2 上点 P 处的切平面于 2x+2y+z1=0，则 P 点的坐标为_.9 设 I1= 2x2y2d，则这三个积分的大小顺序是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设
3、xn+1=ln(1+xn)，x 10，10 求 xn；11 12 13 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x)0xf(xt)dt=sin 4x，求 f(x)在0， 2上的平均值14 设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有|f(x)f(y)|M|xy| ，M 为正的常数，求证：| 01f(x)dx f(kn)|M2n15 求函数 y= 的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点16 设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得 f()= f()17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，证明： (a，b)
4、使得 f(b)2f()+f(a)=14(ba) 2f“()18 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Cep(x)dx 是方程 y+p(x)y=0 的所有解18 直线 L1：x1= ，L 2：x+1=y1=z，19 若 L1L2，求 ；20 若 L1 与 L2 相交，求 21 求曲线 在 yOz 平面上的投影方程22 求 z=2x+y 在区域 D： x2+ 1 上的最大值与最小值22 求下列二重积分23 计算 I= (x+y)2dxdy，其中 D：|x|+|y|1；24 计算 I= dxdy，其中 D：x0 ，y0，x+y1：25
5、设 a0 为常数，求积分 I= xy2d，其中 D：x 2+y2ax26 设曲面 S 是上半球面 x2+y2+z2=a2(z0，a0)被柱面 x2+y2=ax 所割下部分，求 S的面积26 求下列空间中的曲线积分27 I=Lyzdx+3zxdyxydx，其中 L 是曲线 且顺着 x 轴的正向看是沿逆时针方向28 I=(x2yz)dx+(y 2xz)dy+(z 2xy)dz，其中 f 是沿螺旋线x=acos，y=asin ，z=h2 从 A(a，0，0)到 B(a，0，h)的有向曲线29 已知 anxn 的收敛半径 R=R00，求证：级数 ann!x n 的收敛域为(， +)考研数学一（高等数学
6、）模拟试卷 248 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= ，x=0，1 是 f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型计算可得由于 f(0+0)与 f(00)存在但不相等，故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点 x=1 是f(x)的可去间断点， x=1 是 f(x)的无穷间断点，因此选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 首先，f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)，即 b=0然后，f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f (0)由求导法则知 f (0)=(ax)|x=0=a由
7、 f+(0)=f (0)得 a=0因此选(A) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosx)cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此原式=02ln(2+cosx)cosxdx= ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)cosxdx=20ln(2+cosx)d(sinx)=2sinxln(2+cosx)|0 0sinxdln(2+cosx)=20 dx又因为在0，上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与 a 无关的正数故选(C)?【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 antn，t=x1，在 t=2 处收敛
8、R2，x=2 时 t=1(R，R)antn 在 t=1 即 an(n1) n 在 x=2 处绝对收敛选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 (，1)(1，+)【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待注意到 x=0 为分界点因为又 f(0)=3，因此 f(x)=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续此外，由于函数 f(x)在点 x=1处无定义，因此 x=1 为 f(x)的间断点于是所给函数 f(x)的连续区间为(，1)(1，+)【知识模块】 高等
9、数学6 【正确答案】 0【试题解析】 由周期函数的积分性质得In，m = 02sinnxcosmx= sinnxcosmxdx当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 In，m =0当 m 为奇数(设 m=2k+1，k=0，1，2，)时In，m = sinnx(1sin 2x)kdsinx=R(sinx)| =0，其中 R(u)为 u 的某个多项式(不含常数项)因此 In，m =0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C 1x+C2exx 21，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由非齐次方程(x1)y“xy+y=(x1) 2 的两个特解 与 y*可得它的相应齐次方程的另一特解 y
10、 *=exx，事实上 y2=(exx)+x=e x 也是该齐次方程的解，又 ex 与 x 线性无关，因此该非齐次方程的通解是 y=C1x+C2exx 21，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (1，1，2)【试题解析】 P(x ，y，z)处一个法向量 n=2x，2y，1，平面 2x+2y+z1=0 的法向量 n0=2， 2，1 ，由 n=n0 x=，y=，=1 x=1，y=1 ，z=411=2，因此P 点是(1 ，1， 2)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 I 3；I 1；I 2【试题解析】 比较 I1 与 I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域
11、(x2+y21)包含在正方形区域(|x|1，|y|1) 中 I1I 2比较 I1 与 I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x4+y4 2x2y2 I1I 3因此 I3I 1I 2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 注意：xln(1+x) (x0)，于是 xn+1x n=ln(1+xn)x n0 (n=1，2，3，) 极限a=ln(1+a)又 a0 时 aln(1+a)，故 a=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿莱布尼
12、兹公式得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 xt=u，则 0xf(xt)dt= 0xf(u)du于是 f(x)0xf(u)du=sin4x，d 0xf(u)du2=2sin4xdx两边积分( 02 )得 02 f(u)du2=202 sin4xdx故 f(x)在0 ，2上的平均值为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 将 01f(x)dx 与 1n f(kn)分别表示成 01f(x)dx代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 定义域：x1单调增区间(0，1) ；单调减区间(，0)(1，+)；极小值点 x=0【知识模块】 高等数学16
13、 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，(a ，b) ，使将式入式，即得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 在 x= 处展开成由导函数的中间值定理 在 1， 2 之间( (a， b)，使得=14(ba) 2f“()【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x)dx=C，即 y=Cep(x)dx 【知识模块】 高等数学【知识
14、模块】 高等数学19 【正确答案】 1，2， 1 ，1，1=0 1+2+=0= =3【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 L 1 通过点(1，1，1)，以(1 ，2，)为方向向量，L 2 通过点(1， 1，0) ，以 (1，1，1)为方向向量，则 L1 与 L2 共面=2(2)+1 (21)=23=0 ，此时 L1 与 L2 不平行因此，=32【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 F(x，y，)=2x+y+(x 2+ 1)，解方程组由，得 y=2x，代入得 x=因为 z 在 D 存在最大、最小值z 在 D 的最大值为 2 ，最小值为2【知识
15、模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D1，如图 98=801x2dx01x x2dy=802x2(1x)dx【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 极坐标变换 x=rcos，y=rsin D：02，0r 于是【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 D 是圆域(如图 910)：(x )2+y2(a2)2 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x轴上方部分为 D1：02，0racos于是I=2 xy2dxdy=202 d0acosrcosr2sin2rdr=202 sin2cosd0acos
16、r4dr=25 02 sin2cosa5cos5d=25a 502 (1cos 2)cos6d【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 S ：z= ，(x，y) Dxy：(x )2+y2(a2) 2，如图931【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 写出 L 的参数方程后代人公式直接计算 L 为则其参数方程为 x=2cost，y=2+2sint，z=7+6sint，其中 t 从 0 到2于是直接计算即得 I=Lyzdx+zxdy+xydz+2(zxdyxydz)= 02d(x(t)y(t)z(t)+2022cost(7+6sint)(2cost)2cost(2+2sin
17、t)6costdt=x(t)y(t)z(t)| 02+202(2824)cos2tdt=028cos2tdt=8其中 02sintcos2tdt=0， 02cos2tdt=【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 易求得(x 2yx)dx+(y 2xz)dy+(x 2xy)dz=d( z3)(yzdx+xzdy+xydz)=d1 3(x3+y3+z3)xyz因此，得 I=d13(x 3+y3+z3)xyz=13(x 3+y3+z3)xyz| (a，0，0) (a，0，h) =13h 3【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 即证 ，幂级数 ann!x n 均收敛任取 |x0|R 0，x 00，考察|ann!x n|与|a nx0n|的关系并利用比较判别法有界，即1n!|x x 0|nM(n=0，1，2，) ，M0 为某常数，于是|a nn!x n|M|anx0n|由幂级数在收敛区间内绝对收敛 |anx0n|收敛因此，原幂级数的收敛域为(， +)【知识模块】 高等数学
