1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 249 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 x0 +时的无穷小量 =tanxx，= 0x(1cos )dt，=( )x1 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ；， （D），2 设 f(a)0 ，则 0，有（A）f(x)f(a)(x (a，a+)（B） f(x)f(a)(x(a， a+)（C） f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x (a ，a)（D）f(x)f(a)(x (a，a+)，f(x)f(a)(x (a ， a)3 设常数 0，I 1=0
2、2 dx，I 2=02 dx，则（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关4 下列函数在点(0，0) 处不连续的是5 （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关二、填空题6 设 y=sinx2则 dyd(x 3)=_.7 0aarctan dx(a0)=_8 已知方程 y“+ y=0 的两个特解 y1=ex，y 2=x，则该方程满足初值 y(0)=1，y(0)=2 的解 y=_9 曲线 在 M0(1，1，2)处的切线方程为_，法平面方程为_.10 设 D 为圆域 x2+y2x，则 I= d=_三、解答题解答应写出文字说
3、明、证明过程或演算步骤。11 设 a0 为常数， xn= xn12 设 (x3 sin3x+ax2 +b)=0，试确定常数 a，b 的值12 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：13 14 15 求 0e1 (x+1)ln2(x+1)dx16 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆(x )2=12 相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数 a，b，c 17 设函数 f(x)与 g(x)在区间 a，b上连续，证明： abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx (*)18 作函数 y=lnxx 的图形19 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续
4、的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证：20 设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f(n+1)(x)0，f )(n)(x)021 设连接两点 A(0，1) ， B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图64)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程21 设 z=f(x，y)满足 0，由 z=f(x，y)可解出 y=y(z，x)求：22 23 y=y(z，x)24 设函数 z=(1+ey)cosxye y，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点25 设曲面 z=12(x 2+y2)，其面密度 为常
5、数，求该曲面在 0z32 部分 S 的质量与质心25 求下列平面上曲线积分26 =1 正向从 A(a，0)到(0 ，b)的一段弧，a1 27 I=L dy，其中 L 是椭圆周 =1，取逆时针方向28 I=L(exsinymyy)dx+e xcosymx)dy，其中 L： t 从 0 到，a 029 求 xn 的收敛域及和函数考研数学一（高等数学）模拟试卷 249 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A) 与(D)即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与
6、应排列为 ，可排除 (B)，即应选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a)= 0由极限的保序性 0，当 x(a，a+)，xa 时 0 f(x)f(a) (x (a，a+) ，f(x)f(a) (x (a ，a) 因此选 (C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 I 1I 2 当0x4 时 cosxsinx，又 0x x，所以 I1I 20故选(A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 直接证(C) 中 f(x，y)在点(0，0)处不连续当(x，y)沿直线 y=x 趋于点(0， 0)时 因此 f(x，y)在点(
7、0，0) 处不连续故选(C) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由莱布尼兹法则知 原级数收敛因此是条件收敛选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 2cosx 23x【试题解析】 用微分之商来求【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 a 2【试题解析】 利用分部积分法【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 e x+x【试题解析】 因 y1，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C1ex+C2x由初始条件得C1=1， C1+C2=2 C1=1， C2=1 y=ex+x【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 ；yx=0【试题解析】 M 0 在曲线上， M0 处的
8、切向量=4i+4j=41，1，0M 0 处切线方程 法平面方程(x1)+(y1)=0，即 yx=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 49【试题解析】 D 如图 93用极坐标变换，D 的极坐标表示：202，0rcos，于是I=2 2 d0cosrrdr13cos 3d【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n， an=0；当 a=1 时xn=1 2n， 12 n=0；【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由题设知利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有这表明 3+a=0 a=3将 a=3 代入(*)
9、式，即得故b=92 综合得 a=3，b=92【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 这是初等函数，它在定义域(x 21)上连续因此，x1 时均连续x=1 时， 故 x=1 是第一类间断点(跳跃的) 又 =0，故 x=1 也是第一类间断点( 可去)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 先求极限函数注意 x2n=0(|x|1)， 1x 2n=0(|x|1)，x1 时，|x| 1 与|x| 1 分别与某初等函数相同，故连续x=1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均，不相等【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 原式=12 0e1 ln2(x+1)d(x+1)
10、2 12 1eln2tdt2=12(t 2ln2t|1e 1et2dln2t)=12(e 2 1et22lnt1tdt)=12(e 2 1elntdt2)=12(e 2t 2lnt|1e+1et2dlnt)=12 1etdt=14t 2|1e=14(e 21)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点 P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数 y=y(x)在 P(1，2)处的 y“0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y=1由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有a+b+c=2抛物线与圆在点 P(1，2
11、)相切，所以在点 P(1，2)处 y=1，即有2a+b=1又抛物线与圆在点 P(1，2) 有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得 a=2，从而 b=3，c=2a b=3 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 引入参数，即考虑f(x)+tg(x) 2由于 abf(x)+tg(x)2dx=abf2(x)dx+2tabf(x)g(x)dx+t2abg2(x)dx0， 因此，其判别式 =2abf(x)g(x)dx24 ab2f2(x)dxabg2(x)dx0，即(*)式成立【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 定义域：x0()渐近线：只有间断点 x=0由 = 可知，有垂直渐近线 x=0；可知，有
12、水平渐近线 y=0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 ln(1+x)x(x(1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)xn+ xn+1若 fn+1(x)0，f (n)(x)0，由上式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)xn 是n 次多项式反之，若 f(x)=anxn+an1 xn1 +a1x+a0(an0)是 n 次多项式，显然 f(n)(x)=ann!0，f (n+1)(x)0【知识模块】 高等数学21 【
13、正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 x21+f(x) ，故x3=0xf(t)dt 1+f(x)两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为xy y=6x 21(原方程中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为 y=e1xdx C(6x+ )e1xdx dx=Cx6x 2+1对任意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1)又根据题设，此曲线过点 (1，0)，即 y(1)=0，由此即得 C=5，即所求曲线为 y=5x6x 2+1【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 以 z，x 为自变量，
14、y 为因变量 y=y(z，x)，它满足 z=f(x，y(z ，x)将 z=f(x，y)对 x 求偏导数，得 0= 再对 x 求偏导数，得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因 y=y(z，x)， y=x(z)+(z)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 ()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0)或(x，y)=(2n+1)，2)，其中 n=0，1，2，()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点在(2n，0)处，由于 =(2)(1)0=2 0， =20则 (2n，0)是极大值点在(2n+1)，2)处，由于=(1+e2 )(e 2n )= 0，则(2n+1)，2)不是极值
15、点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n=0 ，1，2，)，而无极小值点【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 质量 M= dS，其中 S：z=1 2(x 2+y2)，(x，y)Dxy： x2+y23又 =y，于是=03(t+1)32 dt 03(t+1)12 dt【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 将 I 表成 I=LPdx+Qdy，则不能在 L 围成的区域上用格林公式，取圆周(如图 104) C：x 2+y2=2(0 充分小)，逆时针方向，在 L与 C 围成的区域 D 上可用格林公式得=1 22 2=2【知识
16、模块】 高等数学28 【正确答案】 将积分 I 分解成 I=I1+I2，其中 I1=Lsinydex+exd(siny)m(ydx+xdy)，I2=LydxI 1 易通过求原函数而求得， I2 容易直接计算：I 1=Ld(exsinymxy)=(exsinymxy)| (0，0) (a，2a) =easin2a2ma 2I 2= Lydx= 0a(1cost)a(1cost)dt=4a 20sin4t2dt=8a 202 sin4sds 因此I=I1+I2=easin2a2ma 2 a2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 () 求收敛域：原幂级数记为 anxn，则由收敛域为(， +)( )求和函数逐项积分与逐项求导法我们也是为了利用 ex 的展开式，作如下变形：xS(x)=xg(x)=x(x1)e x ，xS(x)= 0x(t2t)e t dt= 0x(t2t)de t =(xx 2)ex +0x(2t1)et dt=1e x (1+x+x2)，【知识模块】 高等数学
