1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 平面 与 1：x 一 2yz 一 20 和 2：x 一 2yz 一 60 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（A）x 一 2yz 0（B） x 一 2yz 一 30（C） x 一 2yz0 或 x 一 2yz 一 30（D）x 一 2yz 402 设 则有( )（A）L 1L3（B） L1L2（C） L2L3（D）L 1L23 设 则 f(x，y)在(0，0)处( ) （A）连续但不可偏导 （B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导4 对二元函数 zf(x ，y
2、)，下列结论正确的是( )（A）zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续（C）若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微（D）若 z f(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)一定不可微5 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件，则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小
3、值点在 D 的边界上二、填空题6 设直线 在平面 xyz0 上的投影为直线 L，则点(1，2，1)到直线 L 的距离等于_。7 曲线 在 xOy 平面上的投影曲线为 _8 设函数 z f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y1)12x3yo() ，其中 ，则曲面：zf(x，y)在点(0，1)的切平面方程为_9 设 zxf(xy)g(x y，x 2y 2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 _。10 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)t 3f(x，y)，且 fx(1，2)1，f y(1，2)4，则 f(1，2)_11 设 zf(x，y)二阶可偏导
4、， 2，且 f(x，0)1，f y(x，0)x，则 f(x，y)_12 设(ay 一 Zxy2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则a_ ，b_ 。13 函数 ux 2 一 2yz 在点 (1，一 2，2) 处的方向导数最大值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设曲面 及平面 ：2x2yz5014 求曲面上与 平行的切平面方程；15 求曲面与平面 的最短和最长距离15 设直线16 求直线 L 在平面 上的投影直线 L0；17 求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程17 设直线18 证明：直线 L1，L 2 为异面直线；19 求平行于 L1，L 2
5、且与它们等距离的平面20 求过直线 且与点(1，2，1)的距离为 1 的平面方程20 设直线 L：21 求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面； 22 求该旋转曲面介于 z 0 与 z1 之间的几何体的体积23 已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2yz12 上求一点 M，使得PMMQ最小。24 设 A(一 1，0，4) ， ： 3x 一 4yz100，L： ，求一条过点 A 与平面 平行，且与直线 L 相交的直线方程25 设 uf(x， y，xyz) ，函数 zz(x，y) 由 exyz 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求26 设 证明：f(x，y)在点(0
6、，0)处可微，但 在点(0，0) 处不连续26 设27 f(x，y)在点(0，0)处是否连续 ? 28 f(x，y)在点(0，0)处是否可微 ?29 29 设 uu(x ，y，z)连续可偏导，令30 若 ，证明；u 仅为 与 的函数31 若 ，证明：u 仅为 r 的函数32 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)t kf(x，y，z) 证明：33 34 设 uu(x ，y) 由方程组 uf(x ，y，z，t)，g(y，z ，t)0，h(z ，t)0 确定，其中 f，g ，h 连续可偏导且 ，求 。考研数学一（高等数学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题
7、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设所求平面为 ：x 一 2yz D0 ，在平面 ：x 一 2yzD 0上取一点 ，因为d1：d 21：3，所以 D0 或 D一 3，选（C）。【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 三条直线的方向向量为 s 1一 2，一 5，3)，s 23，3，7，s31， 3，一 12，1，一 1 一 2，一 1，一 5， 因为 s1.s20，所以L1L2，选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶
8、连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有，因为 M0 为最大值点，所以 ACB2 非负，而在 D 内有，即 ACB20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学部分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 2x3yz 一 20【试题解析】 由 f(x
9、，y1)12x3yo() 得 f(x，y)在点(0 ，1)处可微，且而曲面：z f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为 n (2，3，一 1)，所以切平面方程为 ：2(x0)3(y 一 1)一(z 一 1)0，即 ：2x3yz 一 20【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 fxf“x y1 g1yx y1 lnxg1yx 2y1 lnxg11“2y 2xy1 g12“2x y1 lnxg21“4xyg 22“【试题解析】 由 zxf(x y)g(x y，x 2y 2)，得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty) t3f(x，y)两边对 t 求导数得
10、 xfx(tx，ty) yf y(tx，ty)3t 2f(x，y)， 取 t1，x 1，y2 得 fx(1，2)2f y(1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)3【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 y 2xy1【试题解析】 由 得 ，因为 fy(x，0)x,所以 (x)x，即2yx，z y 2xy C，因为 f(x，0)1，所以 C1，于是 zy 2xy1【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 a 4， b一 2【试题解析】 令 P(x，y) ay 一 2xy2，Q(x ，y)bx 2y4x3，因为(ay 一 2xy2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，所
11、以，于是 a4，b一 2【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的梯度的模，而 gradu (1，2，2) 2x，一 2z，一Zy (2，2， 2)2，一 4，4，方向导数的最大值为 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 设切点为 M0(x0，y 0，z 0)，令 F(x，y，z) 则切平面的法向量为 ，因为切平面与平面 平行，所以得 x02t，y 0t ，z 02t，
12、将其代入曲面方程，得 ，所以切点为 及 ，平行于平面 的切平面为【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 ，即 x1t，yt ，z1 一 t，将x1t，yt，z1 一 t 代入平面 x 一 y2z 一 10，解得 t1，从而直线 L 与平面 的交点为 M1(2，1，0) 过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为s11，1，一 11，一 1，2 1，一 3，一 2，平面方程为 1：1(x 一 2)一3(y 一 1)一 2z0，即 1：x 一 3y 一 2z10 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为【知识模块
13、】 高等数学部分17 【正确答案】 设 M(x，Y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为M0(x0，y，z 0)及 T(0，y，0)，由M 0TMT，得 x02z 02x 2z 2，注意到M0(x0，y，z 0)L，即 ，于是 ，将其代入上式得：x 2z 2(y1) 2(1 一 y)2，即 ：x 2 一 2y2z 22【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 M 1(1，0，一 1)L1，M 2(一 2，1，2)L 2， 一 3，1，3，s1一 1，2，1，s 20，1，一 2，
14、s 1s2一 5，一 2，一 1因为(s 1s2) 一 5，一 2，一 1一 3，1，3100，所以 L1，L 2 异面【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 与 L1，L 2 同时平行的平面的法向量为 ns 1s2一 5，一 2，一1，设与 L1，L 2 等距离的平面方程为 ：5x2yzD0，则有，解得 D1，所求的平面方程为 ：5x 2yz 10【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 过直线 的平面束方程为 ：(3x 一 2y2)(x2yz6)0，或 ：(3 )x 一 2(1)yz26 0，点(1 ，2，1)到平面 的距离为 解得一 2 或 一 3，于是所求的平面方程为 ：x2
15、y2z 一 100，或 ：4y3z一 160.【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点 M0(x0，y 0，z) 及T(0，0，z)，由 M0T MT得 x2y 2x 02y 02，注意到 M0L，则，即 ，将 代入上式得：x 2y 2(12z) 2(2z) 2，即：x 2y 25z 28z 5【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)(x 2y 2)(5z 28z5)，则【知识模
16、块】 高等数学部分23 【正确答案】 把点 P 及点 Q 的坐标代入 x 一 2y 十 z 一 12 得 11 一 12一 12及 32212一 9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧。过点 P 且垂直于平面 的直线方程为【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 过 A(一 1，0，4)且与平面 ：3x 一 4yz100 平行的平面方程为 1：3(x1)一 4y(z 一 4)0，即 1：3x 一 4yz 一 10令，则 ，代入 1： 3x 一 4yz 一 10，得 t16，则直线 L 与 1 的交点为 M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为s16，19，28，所求直线为 【知识模块
17、】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 因为 0f(x，y) ，所以 0f(0，0)，故f(x，y)在点(0，0)处连续【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 因为所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 uf(x，y，z ，t)，g(y，z，t)0，h(z ，t)0，得【知识模块】 高等数学部分
