1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 等于( )2 设 D(x，y) 0x，0y)，则 等于( )3 设 ，其中 D：x 2y 2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题4 5 设 f(x，y)在区域 D：x 2y 2t2 上连续且 f(0，0)4，则6 设 f(x)连续，则7 设 a0，f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则8 9 设连续函数 f(x)，f(0)0，F(t) z2f(x 2y 2)dxdydz， t： x2y 2t2，0z1，则10 设 L 为从点 A(0，一 1
2、1)到点 B(1，0，2) 的直线段，则_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设函数 z f(u)，方程 u(u) 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 12 13 求二元函数 zf(x ，y)x 2y(4 一 xy)在由 z 轴、 y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值14 求函数 uxyz 在沿球面 x2y 2z 21 上的点 (x0，y 0，z 0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?15 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1
3、p 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q12402p 1，q 210005p 2，总成本函数为C35 40(q 1q 2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?16 设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y) 在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)017 设 ：xx(t) ，yy(t)(t 是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在( ，)内有连续的导数且 x2y 2(t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P0 是函数f(x，y)在 上的极值点，
4、证明：f(x ，y)在点 P0 沿 的切线方向的方向导数为零18 19 设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) f(x2y 2)dxdy(t0)，求 F“(0)20 计算二重积分21 22 已知 ，设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求23 计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故24 计算 ，其中 D(x，y)一 1x1，0y225 26 27 28 计算 ，其中 D 为单位圆 x2 y21 所围成的第一象限的部分29 计算二重积分 ，其中 D 是曲线 (x2y 2)2a 2(x2 一 y2)围成的区域30 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2y 2 z2
5、a 2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?31 设 f(x)在a，b上连续，证明：32 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得33 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)0，f“(x)0， 为 yf(x)，y0，xa 围成区域的形心，证明： 34 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：35 设 f(x)连续， 其中V(x，y，z) x 2y 2t2，0zh(t0)，求36 设 ：x 2y 2z 21，证明：37 设 f(x)为连续函数，计算 ，其
6、中 D 是由yx 3，y1，x一 1 围成的区域38 交换积分次序并计算39 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：40 证明：用二重积分证明考研数学一（高等数学）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1(x，y) 0x，0yx，【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 xf(x
7、21)【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 在 D1(x，y) x ，0y1上，f(y)y； 在D2：0xy1 上，f(x y)xy， 则在 D0D 1D2(x，y)yx1 一y,0y1)上，f(y)f(x y) y(xy)，【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答
8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y0(0x6)上，z0；在 L2：x0(0y6)上，z 0；在 L3：y6 一 x(0x6)上，z一 2x2(6 一 x)2x 3 一 12x2，由 6x 2 一 24x0 得 x4，因为 f(0，0)0,f(6，0)0,f(4 ，2)一 64，所以 f(x，y)在 L3 上最小值为一 64，最大值为 0(2)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 ACB20 且A0，所以(2，1)
9、为 f(x，y)的极大点，极大值为 f(2，1)4，故 zf(x，y)在 D 上的最小值为 mf(4，2)一 64，最大值为 Mf(2 ，1)4【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 球面 x2y 2z 21 在点(x 0，y 0， z0)处的外法向量为聘2x 0，2y 0， 2z0)，【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 p 11205q 1，p 220020q 2，收入函数为 Rp 1q1p 2q2，总利润函数为 LRC(1205q 1)q1(20020q 2)q2 一3540(q 1q 2)，由得 q18，q 24，从而 p180，p 2120，L(8，4)605，由实际问
10、题的意义知，当 p180，p 2120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为605【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在 (充分性)若 (0，0)0，则 fx(0，0)0，f y(0，0)0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 当 t0 时，F(t)0；当 0t1 时
11、 当1t2 时， 当 t2时，F(t)1，则【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 D1(x，y)0x1,0yx，D 2(x，y)0xy，0y1，则【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 令 D1(x，y)1x1，0yx 2)，D 2(x ，y)一1x1，x 2y2)，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 设球面 S：x 2y 2(z 一 a
12、)2R 2，【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(z，y)f(x，y)g(x，y)Mg(z，y)积分得【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 因为积分区域关于直线 yx 对称，【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 令 f(x)x2y 一 2z5，因为 fx10 ，f y20，f z一 20，所以 f(x，y， z)在区域 的边界 x2y 2z 21 上取到最大值和最小值令F(x，y，z，)x2y 一 2z5(x 2y 2z 2 一 1)，【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分40 【正确答案】 令 D1(x，y)x 2y 2R2，x0，y0)， S(x，y) 0xR，0yR)，D 2(x，y)x 2 y22R2，x0，y0)【知识模块】 高等数学部分
