1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 260 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下三个命题： 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 xni收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 在曲线 x=t，y= t 2，z=t 2 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4
2、平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在4 曲面 上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为 ( )（A）48（B） 64（C） 36（D）165 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集6 设为球面(x1) 2+y2+(z+1)2=1，则 (2x+3y+z)dS= ( )（A）4（B） 2（C） （D）07 已知级数 条件收敛，则 ( )8 设 则下列级数中一定收敛的是 ( )9 函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 而言 ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但
3、既非通解也非特解（D）不是解二、填空题10 设 f(x)=(x21) n，则 f(n+1)(1)=_11 =_12 已知函数 F(x)的导数为 则 F(x)=_13 设函数 f(x，y)=e xln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为 y+ (2xyy 2)，则其拉格朗日余项 R2=_14 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 试讨论函数 在点 x=0 处的连续性16 求极限17 设 T=c
4、osn，=arccosx，求18 顶角为 60 毒，底圆半径为口的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?19 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明：存在 ， (a，b)，使得20 求21 求不定积分22 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，证明： abf2(x)dx abf(x)2dx23 已知矩形的周长为 2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最
5、大?24 计算25 设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 (x，y)=x 2y，求此薄片的重心26 设半径为 R 的球的球心位于以原点为中心、a 为半径的定球面上(2a R0，a为常数)试确定 R 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值27 求级数 的和函数28 求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解，其中 为常数29 (1)设 ，y(1)=0计算变限积分 1xt2y(t)+4(t+1)y(t)+2y(t)dt，使得结果中不含 y(x)，也不含积分号； (2)求微分方程 x2y(x)+4(x+1)y(x)+
6、2y(x)= x(0，+)满足初始条件 ，y(1)=0 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 260 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u nA 可知当niN 时，恒有u nA 因此数列u ni也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列 xn为单调增加的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列xni收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有 x niA 由于数列x n为单调增加的数
7、列，对于任意的 nN ，必定存在ninni+1，有 x niAx nAx ni+1A ，从而 x nA 可知数列xn收敛于 A因此命题正确 对于命题，因 ，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2： 当 2nN 1 时，恒有x 2nA ； 当 2n+1N 2 时，恒有x 2n+1A 取 N=maxN1，N 2)，则当 nN 时，总有x nA，因此 可知命题正确 答案选D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 极限不存在，故f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 对应于 t0 处曲线切线的方向向量为 =(1，一
8、 2t0，3t 02)，该切线与平面 x+2y+z=4 平行 与该平面的法向量 n=(1，2，1)垂直 .n=014t 0+3t02=0t0=1 或【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 B【试题解析】 曲面 上任一点 P(x，y，z) 处的法向量为在点 P(x，y，z) 处的切平面方程为令 Y=Z=0=于是X02+Y02+Z02= =64【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点集为空集【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解
9、析】 是球面(x 1) 2+y2+(x+1)2=1 的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1，0，1)处，故【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 设的敛散性相同，故 而由 条件收敛可知03a1，即 2a3若使两个结论都成立，只有 故选 D【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 因 收敛，由正项级数的比较审敛法知， 绝对收敛，从而收敛，故选 DA ，C 错误：如 B 错误：如【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 因原方程阶数为 2，通解中应包含两个任意常数 (可求出通解为C1+C2x+ )； 特解中不含有任意常数 满足原方程，为原方程的解，
10、故选项 A，B，D 都不对，应选 C【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 (n+1)!n(2) n1【试题解析】 求乘积的高阶导数，一般用高阶导数的莱布尼茨公式 f(x)=(x 21)n=(x+1)n(x1) n f (n+1)(x)=(x+1)nn+1(x1) n+ Cn 11(x+1)n(n)(x1) n+ Cn+12(x+1)n(n 1)(xi1)n+ Cn+1n+1(x+1)n(x1) n(n1) 以 x=1 代入，只有第 2 项不为0所以 f (n+1)(1)=(n+1).n!.n( 2) n1 =(n+1)!n(2) n1 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答
11、案】 【试题解析】 令 则 x=t2+2，dx=2tdt，【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 在 0，x 之间， 在 0，y 之间【试题解析】 f(x，y)=y+ (2xyy 2)+R2【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 y=C 1(y1y 2)+C2(y2y 3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可 y 1y 2 与 y2y 3 均是式对应的齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性
12、无关事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的常数 k1 与 k2 使 k 1(y1y 2)+k2(y2y 3)=0 设 k10，又由题设知 y2y 30，于是式 可改写为 矛盾若 k1=0，由y2y 30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1y 2 与 y2y 3 线性无关于是 y=C 1(y1y 2)+C2(y2y 3) 为式的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C1(y1y 2)+C2(y2y 3)+y1 为式 的通解【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 g(0)=(e x+) x=0= (ex+)=1+=g(
13、0 )，当 0 且 =一 1 时，有 g(0 )=g(0+)=g(0)=0，故 g(x)在x=0 处连续；当 0 且 一 1 时，有 g(0 )g(0+)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点；当 0 时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 先看 设 当x+时，t0 +，有故由归结原则，得【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 =nsin n(sin)=nsin nsin ，因为=arccosx，当 x1 时，0，所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高
14、度为 H，水量为 q(如图 121)， 则q=b2H因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以两边对 t 求导得 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 得 h2=3b2，故 时，漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 两式相比，得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)f(a) 2=axf(t)dt2，而 axf(t)dt2(xa) axf(t)2dt(xa) abf(t)2dt(柯西一施瓦茨不
15、等式)，所以 abf2(x)dxab(xa)dx abf(t)2dt=abf(x)2dx【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设该旋转体的半径 x，高为 y，则 x+y=p该圆柱体体积V=yx2 化成一元函数极值问题 V=yx 2=(px)x2=px2x 2，0PV=2px3x 2，V=2p6x令 V=0，得所以当半径 时，体积 V 为极大值，且是唯一驻点，故当 时 V 最大【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 先交换 y，z 的积分次序将 I 理解成由三重积分，先对 y，z 作二重积分再对 x 作定积分得到，二重积分的积分区域为Dyz=(y，z)0yx ，0zy)(x 视
16、为0，1上的某个常数)将 Dyz 表示为Dyz=(y，z)0zx，zyx)于是要计算这个二重积分，仍需要交换积分次序，换序后得【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 设此薄片重心的坐标为 ，则【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 以定球球心为原点，两球心之连线为 z 轴建立坐标系，则两球面方程为定球：z 2+y2+z2=a2；动球：x 2+y2+(za) 2=R2两球交线为该交线在 xOy 平面上的投影圆x2+y2= (4a2R 2)设动球夹在定球内部的表面积为 S对于动球，有x2+y2+(za) 2=R2，故当 时，动球夹在定球内部的表面积 S 最大，最大值为【知识模块】
17、多元函数积分学27 【正确答案】 设又 y(0)=1，y(0)=0于是得到如下微分方程 特征方程为 r21=0，r=1 ，得通解 y=C 1ex+C2ex 对上式求导，得 y=C1ex C2ex 将初值条件代入，解得C1=C2= 故【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 对应齐次方程 y+2y=0 的特征方程 r2+r=0 的特征根为 r=0 或r=当 0 时，y+y=0 的通解为 y=C1+C2ex 设原方程的特解形式为y=x(Ax+B)，代入原方程，比较同幂次项的系数，解得 故原方程的通解为 其中 C1，C 2 为任意常数当 =0 时，原方程化为 y=2x+1，积分两次得方程的通解为其中
18、 C3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 (1)由分部积分， 1xtxy(t)+4(t+1)y(t)+2y(t)dt=1xt2dy(t)+41x(t+1)dy(t)+21xy(t)dt =t2y(t) 1x2 1xty(t)dt+4(t+1)y(t) 1x4 1xy(t)dt+21xy(t)dx=x2y(x)y(1)2 1xtdy(t)+4(x+1)y(x)8y(1)2 1xy(t)dt=x2y(x)2ty(t) 1x+21xy(t)dt+4(x+1)y(x)+ 2 1xy(t)dt=x2y(x)+2xy(x)+4y(x)+1(2)将方程 x2y(x)+4(x+1)y(x)+2y(x)=两边对 x 积分，从 x=1 到 x=x，由(1)，得此为一阶线性微分方程，由通解公式，所以通解为因为 x=1 时， 故所求的特解为【知识模块】 常微分方程
