1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 262 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n和y 1满足 则当 n时，y n必为无穷小的充分条件是 ( )（A）x n是无穷小（B） 是无穷小（C） xn有界（D）x n单调递减2 设 其中 f(x)在 x=0 处可导， f(0)0，f(0)=0 ，则 x=0 是F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定3 与直线 L1： 都平行，且过原点的平面 的方程为 ( )（A）x+y+z=0（B） xy+z=0（C） x+yz=0（D）xy+z+2=04 曲线
2、L： 在平面 xOy 上的投影柱面方程是 ( )（A）x 2+20y224x116=0（B） 4y2+4z212z 7=0（C）（D）5 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质Q，则有 ( )（A）=（B） =（C） =（D）=6 设平面区域 D 由曲线( )（A）2（B） 2（C） （D）7 设 L 是摆线( )（A）（B） （C） 2（D）28
3、 下列命题中错误的是 ( )9 级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛10 微分方程 y+2y+2y=ex sinx 的特解形式为 ( )（A）e x (acosx+bsinx)（B） ex (acosx+bxsinx)（C） xex (acosx+bsinx)（D）e x (axcosx+bsinx)二、填空题11 函数 y=lnx 在区间1， e上的平均值为_ 12 积分 =_13 微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续
4、15 设 a1=2， 存在并求其极限值16 设 且 f(x)0证明：f(x)x17 设 a，b，c 是三个互不相等的常数，求 y(n)18 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上19 设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点， 0t1，求极限20 求21 设在区间e，e 2上数 p，q 满足条件 px+qlnx，问 p，q 为何值时，积分 I(p，q)=ee2(px+qlnx)dx 取得最小值22 设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在a ，a上存在
5、 ，使 a3f()=3a af(x)dx23 设 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求24 在过点 0(0，0) 和 A(n， 0)的曲线族 y=asin x(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小25 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D 由 y=x，x 2+y2=4， 所围成26 如果向量场 是有势场，求常数 a，b 的值及 A 的势函数 u27 设 都是正项级数试证：28 求微分方程(3x 2+2xyy 2)dx+(x22xy)dy=0 的通解29 求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率 其中 为该曲线在相应点处的
6、切线的倾斜角(cos 0) ，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向考研数学一（高等数学）模拟试卷 262 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 故 B 正确若取 且x n在 n 时是无穷小、有界、单调递减的，但y n不是无穷小，排除 A，C，D 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0，【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 设 L1 的方向向量为 s1，L 2 的方向向量为 s2，平面丌的法向量为 n，则 ns1ns 2，故 n=s1s2= =(ij
7、+k)又因平面过原点，故答案选择 B【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 投影柱面方程是一个关于 x，y 的二元方程，仅 A 正确事实上，B 中方程含 x 不可能是 L 在平面 xOy 上的投影的柱面方程，而 C，D 中方程表示曲线【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 151 中因果关系的认知：【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 如图 161 所示， 用曲线将区域 D 划分为 D1 和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有由于区域 D 的面积与直线 y=0
8、，y=1， 所围成矩形的面积相等，故SD=，故应选 D【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 设 故曲线积分与路径无关令【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性质知命题 A 正确；由反证法可知命题 B 正确；若设收敛，可知命题 C 正确，命题 D 错误【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 设 对于发散，故由比较审敛法的极限形式可知， 发散而是单调递减数列，且当 n时极限为 0由莱布尼茨定理知， 收敛故收敛且为条件收敛【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+2=0 即(r+1)
9、2=1，解得特征根为 r1，2 =1i 而f(x)=ex sin x，i=1i 是特征根，故特解的形式为 y*=xex (acos x+bsin x)【知识模块】 常微分方程二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 C 1e2x +(C2+ x)e2x 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 y4y=0 的特征根 1，2 =2，则其通解为 y=C1e2x +C2e2x设其特解 y*=Axe2x 代入 y4y=e 2x，可解得 所以 y4y=e 2x 的通
10、解为y=C1e2x +(C2+ x)e2x 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 f(x)在区间( 1，0)，(0，1)及(1， +)都是初等函数，且是连续的f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为所以 x=0 为跳跃间断点f(1) 无定义，故 x=1 是间断点因为不存在，所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为 所以a n有下界下面再证明a n单调递减即 an+1an，所以则 A=1，A= 1(舍去)【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因得 f(0)=0
11、，f(0)=1因 f(x)二阶可导，故 f(x)在 x=0 处的一阶泰勒公式成立，有 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2( 介于 0 与 x 之间)因 f(x)0，故 f(x)x，当且仅当 x=0 时等号成立原命题得证【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 用待定系数法将题给的有理真分式分解成一次因式的真分式之和，得运用高阶导数公式，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令y=0，得 x1=1， 列表：所以 A(1，1) ，所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因 f(x)=arcsinx 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，应用拉
12、格朗日中值定理，得 由此解得并令 =arcsin t 有【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 要使 I(p，q)= ee2(px+qlnx)dx 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法 I(p)的极值点 p0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt) ，则有 =q=lnt1=lnp 1，于是 I(p，q)=I(
13、p)=ee2(pxlnp1lnx)dx= p(e4e 2)(lnp+1)(e 2 e)e 2【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1)对任意 xa，a，有(2)a af(x)dx=a af(0)xdx+ a af()x2dx= a a f()xdx因为 f(x)在a ，a上连续，由最值定理：mf(x)M，x a，a mx 2f()x2Mx2， ma3=ma ax2dxa af()x2dxMa a x2dx= Ma3，介值定理，存在a ，a，使得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 I(a)= 01+a3sin3x+(2x
14、+asinx)acosxdx= 令 I(a)=4(21)=0，得 a=1(以 a=1 舍去) ，且 a=1 是 I(a)在(0，+)内的唯一驻点又由于 I(1)=80，所以 I(a)在 a=1 处取到最小值，因此所求曲线是 y=sinx【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 由 可得(x1) 2+y2=1，其中 y0y= x 与x2+y2=4 的交点为 y= x 与 的交点为(0，0)x 2+y2=4 与 的交点为(2，0)，如图 1610 所示【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 有势场是旋度恒为零的向量场，由 rot A=0 即可求得有关量由得 a=1，b=0由于因此其中
15、C 为任意常数【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 (1)收敛(2)u n 单调减少，即 un+1un，则有 un+12unun+1，从而 收敛【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy 2)dx+(x22xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2yxy 2)=0， 故通解为 x3+x2yxy 2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 由曲率计算公式及曲线为凹知， 因为 为曲线在相应点的切线的倾斜角，且 cos0，所以整理得微分方程 2y2y=1+(y)22此为缺 x 的可降阶二阶方程令代入上述微分方程，化简为解得 y2=(p+1)+y(p2+1)C2由于曲线在点(1，1)处切线水平，故 y(1)=1，y(1)=0于是有1=1+C1，C 1=0故得 y=p2+1，即 由于曲线是凹的，y=1 不是解，再将 分离变量后积分得 由 y(1)=1，所以C2=1，得 化简得 4(y1)=(x1) 2【知识模块】 常微分方程
