1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 263 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中是奇函数的是 ( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)2 设函数 f(x)在区间(，)内有定义，若当 x( ，)时，恒有f(x)x 2，则x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)03 ( )（A） arctan(cos2x)+C（B） arctan(cos2x)+C（C） arctan(cos2x
2、)+C（D）4 直线 L： 与平面 ：xy+2z+4=0 的夹角为 ( )5 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的 ( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件6 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I1= ln(x+y)3dxdy，I 2=(x+y)3dxdy，I 3= sin(x+y)3dxdy，则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3
3、I 1 I27 设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）8 函数项级数 的收敛域为 ( )（A）(1，1)（B） (1，0)（C） 1，0（D）1，0)9 方程(3+2y)xdx+(x 22)dy=0 的类型是 ( )（A）只属于可分离变量型（B）属于齐次型方程（C）只属于全微分方程（D）兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程二、填空题10 =_11 设 a=(3，5，8)，b=(1，1，z) ，a+b = ab，则 z=_12 设 则 01xG(x)dx=_13 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解
4、是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 函数 f(x)由下列表达式确定： 求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限15 设 x0=1，16 证明：当 0a b 时， bsin b+2cos b+nbasin a+2cosa+a17 求函数 的导数18 作函数 的图形19 若函数 (x)及 (x)是 x 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一 1，又 xx 0 时， (n)(x) (n)(x)试证：当 xx 0 时，(x)(x) 20 求21 求22 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1 ，0y1及直
5、线 l=x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)23 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 01f(x)dx=0，试证： 至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()24 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)出确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(f) ，(u)连续，且 (u)1求25 设 计算：(1)grad u；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu) 26 计算27 计算28 设幂级数 an(xb) n 在 x=0 处收
6、敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 anxn 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径29 设 y(x)是方程 y(1)y=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)30 适当选取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 求 (x)及常数 ，并求原方程满足 y(0)=1，y(0)=0 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 263 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，
7、有g(x)=( x)=(x)=(x)=g(x)，因此 (x)为奇函数同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数。答案选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)=0 ， 故f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知直线 L 的方向向量为 s=(2，1，1)，平面 的法向量为n=(1，1， 2)设直线 L 与平面丌的夹角为 ，则选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 既非必要也非充分条件取 z=z(x，y)= 则点(
8、0，0)为其极小值点，z x(0，0)，z y(0，0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 在 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y，于是【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 要得到以 2 为周期的余弦级数，f(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数F(x)因 x=0 时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理知，余弦级数在 x=0 处收敛于F(0)=f(0)=1，故选 A【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 原方程关于 x 和 y 非齐次，但极
9、易分离变量，也可化为 y 的一阶线性方程又满足全微分方程条件 Py=2x=Qx故选项 A，B，C 均不正确，D 正确【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 a+b=(2， 4，8+z)，ab=(4 ，6，8z)由a+b= ab 知，20+(8+z) 2=52+(8z) 2，得 z=1或者由a+b=ab知 ab(其几何意义是，a+b 表示以 a，b 为邻边的平行四边形的一条对角线向量，而 ab 则表示另一条对角线向量两对角线长度相等的平行四边形必是矩形，故可知 ab)，即 a.b=0，
10、由此可得35+8z=0，亦得 z=1【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分的次序，【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有 d(3x2+xy)=0， 积分得通解 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 显然 x=1 为间断点，连续区间(，1) (1，+) 所以x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续
11、15 【正确答案】 假设 xnx n1 成立，则即 xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn+1x n又所以x n单调增加且有上界， xn必收敛记 两边取极限，得 a=1+ 即a2a1=0解得 因 xn1，故负值不符合题意，于是【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 令 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sinx+xcosx2sinx+=+xcosx sinx，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有F(x)=xsinx0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以 F(x)0
12、，x (0，)，于是 F(b)F(a) ，即 bsin b+2cos b+basin a+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 定义域 ( ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性则 y=0 的根为 y=0 的根为 x=1列表：由表可知函数的极小值点为 拐点为(1，0)铅直渐近线：无斜渐近线作图(如图 122)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 u(n1) (x)=(n1) (x) (n1) (x)在 x0，x上用微分中值定理得 u(n1) (x)u (n1) (x0)=u(n) ().(xx 0)，x 0 x
13、又由 u(n)()0 可知 u(n1) (x)u (n1)(x0)0且 u(n1) (x0)=0，所以 u(n1) (x)0，即当 xx 0 时， (n1) (x) (n1) (x) 同理 u(n2) (x)=(n2) (x) (n2) (x)0 归纳有 (n3) (x)0，u(x) 0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由题设知 所以当 0x1时， 0xS(t)dt= 当 1x2 时， 0xS(t)dt+1xS(t)dt=当 x2 时，
14、0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=x1因此，【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 ，f(1)+ 01f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c (0，1)，由此可知 f(x)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c) ，b(c，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a， b)，使 F()=0，即故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由 z=f(u)，可得 在方程u=(u)+yxP(t)dt
15、 两边分别对 x，y 求偏导数，得【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 D 1： 则D=D1D2：【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 本题考查三重积分的精确定义，类比于定积分和二重积分，我们首先给出三重积分的精确定义：这里的 不是一般的空间有界闭区域，而是一个“长方体区域” 于是，给出“凑三重积分定义” 的步骤如下：且 既可以读作“0 到 1 上的 dx”，也可以读作“0 到 1 上的 dy”，“0 到 1 上的 dz”，于是，“凑定义”成功【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 令 t=x b，收敛中心 x0=b
16、的幂级数 an(xb) n 化为收敛中心t0=0 的幂级数 antn根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为 an(xb) n 在x=0 处收敛，所以 antn 在 t=b 处收敛，从而当tb= b时，幂级数 antn 绝对收敛由于 an(xb) n 在 x=2b 处发散，故 antn 在 t=b 处发散，进而当tb时，幂级数 antn 发散由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 anxn 的收敛半径 R=b，其收敛域为b，b)又因为幂级数 分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R=b【知识模块】 无穷级数29 【正确
17、答案】 由泰勒公式当x0 时，y(x) 与 x3 同阶，则 y(0)=0，y(0)=0，y(0)=0，y(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)y=0 两边积分得 0xy(4)(t)dt 0xy(t)dt=0，即y(x)Cy(x)=0，两边再积分得 y(x)y(x)=Cx 易知，上述方程有特解y*=Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2ex Cx由初值 y(0)=0，y(0)=0 得C1+C2=0，C 1C 2=C，即 其中 C 为非零常数【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 于是原方程化为令 x(x)+2(x)=0，解之，取 于是有即 =0原方程化为 解得 u=C1+C2x于是得原方程的通解为再由初始条件 y(0)=1，y(0)=0 得 C1=1，C 2=0，故得特解【知识模块】 常微分方程
