1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 264 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数2 当 x0 时，曲线 ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线3 积分 ( )4 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不
2、等于 05 已知 则 I= ( )6 当x1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1 x)（B）（C） ln(x1)（D）ln(x 1)7 设 f(x)=x2(0x1)，而 x(，+)，其中 ban=201f(x).sin nxdx，n=1，2，3，则 =( )8 微分方程 y+2y+=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ash x（B） ach x（C） ax2ex +bex（D）axe x +bex二、填空题9 设 f(x)连续，且 f(x)=1，a 为常数，则 xx+af(t)dt=_10 已知a =2，b=2， 则 u=2a3b 的模u=_11 向量
3、 a=(4，3，4)在向量 b=(2，2，1) 上的投影为_12 设 D=(x， y)(x1) 2+(y1) 22)，则 (x+y)d=_13 微分方程 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 a5 且为常数，k 为何值时极限 存在，并求此极限值15 已知数列x n的通项 n=1，2，3，S n 为其前 n 项和(1)证明 (2)计算16 设 ba e，证明：a bb a17 设 f(x)在 x=0 处连续且 求 f(0)并讨论 f(x)在x=0 处是否可导? 若可导，请求出 f(0)18 求函数 y=excosx 的极值19 若 x1，证明：当 01 时，有(1
4、+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x)1+x20 求下列积分：21 求(x 5+3x22x+5)cosxdx22 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明：23 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 1 )f()24 设 f(x，y)= xy1et2 dt，求25 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21)，求 z2dxdydz26 设 其中 D 为正方形域 0x1，0y127 计算三重积分 x 2+y2+z21dv，其中 =(x，y，z)x 2+y2+z22)28 将 y=sinx 展开为 的幂级数2
5、9 求一个以 y1=tet，y 2=sin 2t 为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 264 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 注意在 内，sinx 是增函数， cosx 是减函数任取 x1，x 2且 x1x 2，有 cosx1cosx 2，所以 sin(cosx1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sinx1sinx 2，所以 cos(sinx1)cos(sinx 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由渐近
6、线的求法可知正确选项为 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域由两部分组成(如图 162)设将 D=D1D2 视为 y 型区域，则 故应选A【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 A【试题解析】 由 bn=201f(x)sin nxdx(n=1，2，3，)表达式可知，b n 是将 f(x)进行奇延拓后的函数按周期为 2 展开的傅里
7、叶系数，S(x) 是其相应的傅里叶级数的和函数，将 f(x)进行周期为 2 的奇延拓得 F(x)，S(x)为 F(x)的傅里叶级数的和函数因 处 F(x)连续，故由狄利克雷定理可知，【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，得 r=1 为二重特征根，而故特解的形式为 y*=ax2ex +bex【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理，然后再计算极限 xx+af(t)dt=f(x).a， x 介于 x，x+a 之间，所以【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】
8、【试题解析】 u 2=u.u=(2a3b).(2a3b)=4 a 26b.a 6a.b+9b 2 =4 a 212a.b+9b 2=4412ab +94 =161222 +36=28，所以【知识模块】 向量代数与空间解析几何11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 4【试题解析】 在极坐标系中，将(x1) 2+(y1) 2=2 化为【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 G1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程 其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次
9、方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程 r22r+1=0，即(r 1) 2=0，特征根为 r1，2 =1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数根据观察，显然 y*=1，与 y 齐 合并即得原方程通解【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 k0 时，I=，不存在；只有当k 1=0，即 型，否则极限为，不存在故当 =5 时，当 5 时，I=0，此时【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 (1)(2)【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 设 其中lnxlne=1，
10、所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 ba e 时，即 bln aaln b，则 ln abln b a，所以 abb a【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因题设 从而f(x)=ln(ax+cosxsinx)题设 f(x)在 x=0 处连续，所以所以 f(0)=1【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 y=ex(coxsinx)知极值可疑点n=0，1，2，(均为驻点)y= 2e xsinx，当为极大值点，极大值为当为极小值点，极小值为【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)，则有 f(x)=(1+x)1 ，f(x)=(1)
11、(1+x) 2 由f(x)的泰勒展开式 介于 0，x 之间，可知当 x1，01 时，(1)0，1+0，故 所以 f(x)f(0)+f(0)x，即(1+x) 1+x同理可证当 x1，0 或 1 时，有(1+x) 1+x【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv令 u=ln(sinx)， v=cotx，于是=cotx.ln(sinx)+cot 2xdx=cotx.ln(sinx)+(csc 2x1)dx=cotx.ln(sinx)cotxx+C(2)本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方(3)因为x=(
12、1x) 1，从而可凑微分(4)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数、偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 利用表格的形式所以(x 5+3x22x+5)cosxdx=(x 5+3x22x+5)sinx+(5x 4+6x2)cosx (20x 3+6)sinx 60x2cosx+120xsinx+120cosx+C =(x220x 3+3x2+118x1)sinx+ (5x460x 2+6z+118)cosx+C【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 积分 对于 A0 收敛，由于对于
13、上 B0，积分 总是存在的，所以对任意 B0，积分 也收敛按定义，便可计算【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 F(x)=xex f(f)，因F(1)=e1 f(1)=e f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0，1) ，使 F()=0，即 f()=(1 1 )f()【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由轮换对称性可知，【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 将 分解成 1：x 2+y2+z21 和 2：1x 2+y2+z22，使被积函数在每个子区域内不变号，故【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos 2t 也是其解，故所求 方程对应的特征方程的根 r1=r3=1，r 2=2i，r 4=2i其特征方程为 (r1) 2(r2+4)=0，即 r42r 3+5r28r+4=0 故所求微分方程为 y(4)2y+5y8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos 2t+C4sin 2t，其中C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程
