1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 265 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)= ( )2 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+2(x).（C） ln1+(x).2(x)（D）(x)+(x)3 设函数 f(x)=(ex1)(e 2x2)(e nn)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(1) n 1(n1)!（B） (1) m(m1)!（C） (1) n1 n!（D）(1) nn!4 函数 在 x= 处的 ( )5 积分 (
2、)6 设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则( )7 曲线积分 C(x2+y2)ds，其中 C 是圆心在原点、半径为 a 的圆周，则积分值为 ( )（A）2a 2（B） a3（C） 2a3（D）4a 38 函数 展开成余弦级数时，应对 f(x)进行 ( )（A）周期为 2l 的延拓（B）偶延拓（C）周期为 l 的延拓（D）奇延拓9 已知级数则 ( )（A）级数收敛，级数 发散（B）级数 发散，级数收敛（C）两级数都收敛（D）两级数都发散10 设 f(x)连续，且满足 则 f(x)= ( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln2二、填空题11
3、 计算 =_12 设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若 AB，k=_13 已知直线 L1： 则过直线 L1 和 L2 的平面是_14 由曲线 y=x2，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x2，则此薄片的质量 M=_15 微分方程的通解_(一定不一定)包含了所有的解三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 a0， x10，17 设 y=y(x)是由 确定的隐函数，求 y(0)和 y(0)的值18 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点19 设 x(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)
4、in 2(1+x)x 2；(2)20 计算积分 03(x1+x2)dx21 求22 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小23 设 ab，证明不等式 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx24 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exyy=0 和 ezxz=0所确定，求25 设有球面：x 2+y2+z2=2x，其面密度为 (x，y，z)=x 2+y2+z2，试求该球面的质量26 设 f(x，y)是(x ，y) x 2+y21上的二阶连续可微函数，满足计算积分27 设 f(x)在
5、0，1上连续，试证： 01dx0xdy0yf(x)f(y)dz= 01f(t)dt328 将 展开为 x+1 的幂级数29 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离钉子 8 m，另一端离钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力考研数学一（高等数学）模拟试卷 265 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小【知识模块
6、】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 用乘积的求导法则求导后含因子 ex=1 的项在 x=0 处为 0，故只留下了一项于是 f(0)=ex(e2x2)(e nxn) x=0=(1)(2)(n 1)=( 1)n 1(n1)!【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：因此 f(x)在 x= 处不可导，但有【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t6，则 ，dx=6t 5dt所以【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微
7、分学7 【正确答案】 C【试题解析】 C：x 2+y2=a2，周长 lC=2a，则 C(x2+y2)ds=Ca2ds=a2l C=2a3【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在l，l上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则 f(x)可在l，l 上展开成余弦级数，故对0，l 上的 f(x)要进行偶延拓【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 设 则u 2n为单调递增数列， 从而级数发散由级数 发散可知，级数 一般项极限不为零，故发散【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 积分得 f(x)=C
8、e2x，又 f(0)=ln 2，故 C=1n 2，从而 f(x)=e2xln 2【知识模块】 常微分方程二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 是连续的，由积分中值定理，存在(x0)，使由夹逼定理可知，x+时， 且有 +，故【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 -2【试题解析】 由于 AB，故有(2a+b).(ka+b)=0，又因 ab，所以2ka 2+b 2=0，则 2k+4=0，即 k=2【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 5x+3yz 1=0【试题解析】 L 1，L 2 的方向向量分别为 s1=(1，1，2)，s 2=(1，2，1)，过直线L1，L 2
9、的平面的法向量可取为 n=s1s2= =5i3j+k在 L2 上取点(1， 1，1)，故所求平面为5(x1) 3(y+1)+(z1)=0 ，即 5x+3yz1=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 【试题解析】 如图 164 所示， 则 M=1 2dxx2x+2(1+x2)dy=1 2(x3+x2+xx 4+2)dx【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 21)dx=(x1)ydy，经分离变量有 于是=C1x 1= y 21=C 12(x1) 2=y21=C 12(x1) 2 C(x1)2(C0)，即通解为 y 21=C(x1) 2
10、(C0)但显然方程的全部解还应包括 y=1(实际上在分离变量时假定了 y210)【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 故x n有下界，又 故x n单调递减，所以 存在设【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 =y(0)=e2将方程两边对x 求导数，得将x=0，y(0)=e 2 代入 式，有 即 y(0)=ee 4将式两边再对 x求导数，得 sin(xy).(y+xy) 2+cos(xy).(2y+xy)= 将x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=e e4 代入上式，有故 y(0)=e3(3e34)【知
11、识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(x)的两个零 x1，x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题，相当于在(x 1，x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的根存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使F(x)=f(x)+f(x)(x)，而 (x)0，则问题可以得到解决由 (ex)=ex 可以得到启发，令 F(x)=f(x)ex 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F(
12、)=0，即 f()e+f()e=ef()+f()=0 由于 e20，因此必有 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (1)令 (x)=x2(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2xln 2(1+x)21n(1+x)， (0)=0当 x(0，1)时， 知(x)单调递增，从而 (x)(0)=0，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)x 2(2)令由(1)得，当x(0，1)时 f(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为又 f(x)单调递减，则 f(x)f(0 +)= ，所以【知识模块】 一元函数微
13、分学20 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 03(x1+x2)dx= 01(32x)dx+ 12dx+23(2x3)dx=5 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为 处切线 l 的方程为所围图形的面积 得 t=1又 S(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 构造辅助函数 F(t)= atf(x)g(x)dx2 atf2(x)dx atg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2f(t)g(t)atf(x)g(x)dxf 2(x)atg2(x)d
14、xg 2(t)atf2(x)dx =at2f(x)g(x)f(t)g(t)f 2(t)g2(x) g2(t)f2(x)dx = atf(t)g(x)g(t)f(x) 2dx0， 所以 F(b)0，即 abf(x)g(x)dx2 abf2(x)dxabg2(x)dx0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 方程 exyy=0 两边关于 x 求导，有 方程 exxz=0 两边关于 x 求导，有【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由于关于 xOy 面、xOz 面均对称，故其中 1 是在第一卦限的部分故 其中Dxy
15、=(x，y) (x1) 2+Y21，y0现在计算【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 采用极坐标 x=rcos，y=rsin ，则【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以在 0，1 上存在原函数设 F(t)=f(t)(t0，1)，则 01dx0xdy0yf(x)f(y)f(z)dz=01f(x)dx0xf(y)F(y)F(0)dy =01f(x)dx0xF(y)F(0)dF(y)F(0)【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 如果此题这样做：是行不通的改用“先积后导”的方法：【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 (1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)m，以 P 表示链条的线密度，由牛顿第二定律 F=ma，得及初值条件 x(0)=0，x(0)=0，解方程得 当 x=8 时，(2)链条下滑路程 x(t)满足方程 =g(12+x)(8 x)2g，整理得 初值条件与(1) 相同，解得【知识模块】 常微分方程
