1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 266 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两个无穷小比较的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定2 设当 x0 时，e tanxe x 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )4 设 f(x)在 x=a 处连续且 存在则在 x=a 处 ( )（A）f(x)不可导，但f(x)可导（B） f(x)不可导，且 f(x)也不可导（C） f(x)可导，且 f(a)=0（D）f(x)可导，但对不同的 f(x)，f(a)可以
2、等于 0，也可以不等于 05 设 N=a ax2sin3xdx，P= a a(x3ex21)dx，Q= a acos2x3dx，a0，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ6 设 f(x)=minx2，3x+10，两个结果中( )（A）与都错（B） 与都对（C） 错对（D）对错7 函数 f(x，y)=e xy 在点(0，1)处带佩亚诺余项的二阶泰勒公式是 ( )（A）1+x+ x2+2x(y1)（B） 1+x+ x2+2x(y1)+o(x 2+(y1) 2)（C） 1+x+ (x2+2xy)+o(x2+y2)（D）1+(x1)+ (21) 2+2(x1)y+o(x1)
3、2+y2)8 设：x 2+y2+z2=a2(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则有 ( )9 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 所围成的有界闭区域，则y2cos(xy)+sin(xy)d= ( )10 当级数 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）可能收敛，也可能发散11 级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关二、填空题12 定积分 =_13 点(1，2，0) 在平面 x+2yz+1=0 上的投影为_14 设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若以 x 和 y 为邻边的平行四边形面积为 6，则 k 的值为_15 设 为曲
4、面 z=1x 2y 2，z=0 所围的立体，如果将三重积分化为先对 z 再对 y 最后对 x 积分，则 I=_16 微分方程 的通解为_17 微分方程(y 2+1)dx=y(y2x)dy 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求函数 的间断点，并判断它们的类型19 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1 ，计算 f(n)(2)20 设 F(x)=1 1xte t2 dt (e1 +1)，讨论 F(x)在区间一 1，1上的零点个数21 证明：22 设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的
5、曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积23 计算24 如图 13 一 1 所示， 设曲线方程为 y=x2+ ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明：25 已知函数 u=u(x，y)满足方程 试确定参数a，b，利用变换 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 将原方程变形，使新方程中不含有一阶偏导数项26 设 D 为 xOy 平面上由摆线 与 x 轴所围成的区域，求 D 的形心坐标27 计算 (x2+y2+z2)ds，其中28 设 (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数； (2)分别判断级数的敛散性29 求解 y
6、=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2考研数学一（高等数学）模拟试卷 266 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如 (x)=x，当 x0 时，二者都是无穷小但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 则 n=3，此时【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)
7、，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到麦克劳林公式，即得 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 存在知所以再由 f(x)在 x=a 处连续，故 f(a)=0于是以下证明 在 x=a的去心邻域内，即 f(a)=0选 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是(a，a)上的奇函数，故 N=0，x 3ex2 是(a，a)上的奇函数，cos2x3 是 (a ，a)上的偶函数，故 P= a a(1)dx= 2a0，Q=2 0acos2x3dx0， 所以PNQ【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】
8、 第 1 步，写出 f(x)的分段表达式，由两曲线 y=x2 与 y=3x+10 拘图形及交点知， 第 2 步，由定积分的性质abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx，acb，经计算有 6 4 f(x)dx=6 5 f(x)dx+5 4 f(x)dx=6 5 (3x+10)dx+ 54 x2dx= 6 4f(x)dx=6 5 f(x)dx+5 2f(x)dx+24f(x)dx， = 6 5 (3x+10)dx+ 5 2x2dx+24(3x+10)dx= 错； 对所以选 C【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知 B 正确【知识模块
9、】 多元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 关于 yOz 面，zOx 面对称，当 f(x，y，z)关于变量 x 或变量 y 是奇函数时， f(x，y，z)dS=0，但 f(x，y，z)=z 关于变量 x，y 都是偶函数，因此【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 如图 163 所示，作曲线 y=x 3，连同 x 轴与 y 轴，将 D 分成 4块，按逆时针方向，这 4 块分别记为 D1，D 2，D 3 与 D4故应选 D【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 因级数 都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法知，绝对收敛【知识模块】 无穷级数11
10、【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时， 不趋于零，发散，所以敛散性与 a 有关【知识模块】 无穷级数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 x 2sinx 是 上的定积分值为 0【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 过点(1，2，0)且与平面 x+2yz+1=0 垂直的直线为 L：它和平面的交点应满足方程组解得交点坐标为【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 1 或 5【试题解析】 以 x，y 为邻边的平行四边形的面积其中 x 2=x.x=(2a+b).(2a+b)=4 a
11、2+ b 2=8，y 2=y.y=(ka+b).(ka+b)=k2a 2+b 2=k2+4，x.y=(2a+b).(ka+b)=2k+4 ，所以由题设知2 k2=6，于是 k=1 或 5【知识模块】 向量代数与空间解析几何15 【正确答案】 【试题解析】 在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在xOy 面上的投影域 Dxy=(x，y)x 2+y21， 的上、下边界曲面方程为z=1x 2y 2，z=0于是【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 x 2=y(ln y+C) ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将 x 看成未知函数，y 看成自变量，问题就迎刃而解了将 x 看成
12、未知函数(实际上就是作反函数变换)，原方程改写为 这是一个伯努利方程，令 z=x2，有【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程写为(y 2+1)dx+(2xy)ydy=0，是全微分方程，再改写为 (y2+1)dx+xd(y2+1)y 2dy=0，即 dx(y2+1)=y2dy，积分得通解 x(y 2+1)= y3+c，或其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点当 x0 时， 在 x=1 处没有定义，且极
13、限 不存在，故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点当 x0 时，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点特别对于点 有故 是函数 F(x)的可去间断点；而点 k=1，2，显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f(x)=e f(x).f(x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f(x)=e2f(x).2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f (4)(x)=2e3f(x).3f(x)=3!e4f(x)， 由以上导数规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n1)!e nf(x) 所以 f
14、(n)(2)=(n1)!e n【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 F(x)= 1x(xt)e t2 dt+x1(tx)e t2 dt (e1 +1)=x1 xet2 dt 1 xtet2 dt+x1tet2 dtx x1et2 dt 1(e1 +1)，F(x)=1 xet2 dt+xex2 xex2 xe x2 x1et2 dt+xex2 =1 xet2 dt x1et2 dt对第二个积分作变量变换 t=u，有 F(x)=1 1et2 dt+x 1 eu2 du=x xet2 dt=0xet2 dt所以，当 0x1 时，F(x)0；当1x0 时，F(x)0所以在区间1，0内 F(x
15、)严格单调减少，在区间0，1内 F(x)严格单调增加此外，由连续函数零点定理知，f(x)在区间( 1，0)与(0，1) 内各至少有一个零点，再由单调性知，在这两个区间内正好各有一个零点，共有且仅有两个零点【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因此，当 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)f(0)=1 ，得证【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 V= 0(sinx+1)2dx=【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 等式 u(x，y)=V(x，y)e ax+by 两
16、边同时对 x，y 求一阶，二阶偏导数，由题意可知，应令 2a+k=0，26+k=0，解得 则原方程变为【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由对称性知 记摆线的纵坐标为 y(x)，于是其中 y=y(x)是由摆线的参数式确定的 y 关于 x 的函数作变量变换，令 x=a(tsint)，于是=02adx0y(x)dy=02ay(x)dx=02a(1cost).a(1cos t)dt=a 202(1cos t) 2dt所以【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 先写出参数式，故 (x2+y2+z2)ds=02(a2+1)adt=2a(a2+1)【知识模块】 多元函数积分学28 【正
17、确答案】 (1)把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 x1，得 f(x)展开为 x 的幂级数(2)根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0t=0 处的高阶导数则所考虑的都为正项级数故由比较审敛法的极限形式知，发散【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 令 y=p(y)，则 代入方程，有pp=e2y+ey， p2=e2y+2ey+C，即 y 2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2 ，有 C=1，所以 y 2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，即 y=ey+1(y(0)=20)，则有则 y1n(e y+1)=x+C1，代入 y(0)=0，得 C1=ln 2，所以，该初值问题的解为 y=ln(1+e y)=xln 2【知识模块】 常微分方程
