1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 269 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 xx 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大（D）设在 xx 0 的某邻域 g(z)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必不是无穷大2 若 在(，+) 上连续，且 则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C
2、） a0，k0（D）0，k03 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且在 x=0 处存在二阶导数 f(0)又设( )（A）x=0 不是 f(x)的驻点（B） x=0 是 f(x)的驻点，但不是 f(x)的极值点（C） x=0 是 f(x)的极小值点（D）x=0 是 f(x)的极大值点4 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+1)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关5 设 则在区间(一 1，1)上( )（A）f(x)与 g(x)都存在原函数（B） f(x)与 g(x)都不存在原函数（
3、C） f(x)存在原函数， g(x)不存在原函数（D）f(x)不存在原函数， g(x)存在原函数6 设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则 C(x y)ds 等于 ( )7 球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围成的立体体积等于 ( )二、填空题8 设函数 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_9 设 则 01f(x)dx=_10 设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a 与 b，积分 aabf(c)dx 的值与 a 无关，且 f(1)=1，则 f(x)=_11 三平面 x+3y+z=1，2xyz=0 ，x+2y+
4、2z=3 的交点是_12 过直线 且和点(2，2，2)的距离为 的平面方程是_13 函数 f(x， y)=ln(x2+y21)的连续区域是_14 已知曲线积分 Lexcosy+yf(x)dx+(x3e xsiny)dy 与路径无关且 f(x)有连续的导数，则 f(x)=_15 设 a 为常数，若级数 =_16 常数项级数 的敛散性为_17 微分方程 ytanx=ylny 的通解是_18 微分方程 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2，并且 f(x)在 x=0 处连续证明：函数 f(x)在
5、任意点 x0 处连续20 证明：不等式 x+ 21 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()422 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bc23 求24 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V25 求 f(x，y)=x+xy x 2 y2 在闭区域 D=(x，y)
6、 0x1，0y2)上的最大值和最小值26 求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2 在区域 x2+y2+z2x+y+z 内的平均值27 (1)设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f(1)=1，D 为不包含原点的单连通区域，在D 内曲线积分 与路径无关，求 f(y)；(2)在(1)的条件下，求a0，且取逆时针方向28 设数列a n满足 a1=a2=1，且 an+1=an+an1 ，n=2，3，证明在 时幂级数 收敛，并求其和函数与系数 an29 求(y 33x 2y3x 2y)dx+(3xy23x 2yx 3+y2)dy=0 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 269 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除 A当 x0 时，令 f(x)=x2， 可排除 B， C对于 D，由于当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，故必存在以 x0 为极限的数列x n使得 f(xn)为有界量，又有 g(x)在 x=x0 的某邻域内有界，设该邻域为 U，x ki)=xnU，故x ki同样以 x0 为极限，此时 f(xki)g(xki)为有界量故当 zx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析
8、】 若 0，则必存在一个 x 使得 e kx =0，即分母为 0，与 f(x)在(， +)上连续矛盾，故 0；又若 k0，当 x时，一 kx或kx=0，均有 f(x)，与题意矛盾，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 先将 0xtf(xt)dt 变形，记 F(x)=0xtf(xt)dt 0x(xu)f(u)(du)=x 0xf(u)du 0xuf(u)du由洛必达法则，得若再用洛必达法则，于是有所以 f(0)=24a0选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lf(
9、x)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0lf(x)dx，故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 g(x) 在区间(1，1) 上连续，所以在(1，1)上存在原函数不选 B与(C)将 f(x)在区间(1，0)与(0 ，1)上分别积分得要使得在 x=0 处连续，取 C2=1+C1，如此取定之后，记为 容易验算知，F (0)=0， F+(0)=1无论 C1 取何值，F(x) 在 x=0 处不可导，故 f(x)在包含 x=0 在内的区间上不存在原函数，不选 A故选 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 只有选项 B 正确【知
10、识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 因为所围成的立体关于 xoy 面和 zOx 面对称，故所围立体体积V=4V1，其中 V1 为所围成立体在第一卦限部分的体积V 1 在 xOy 面上的投影域为Dxy=(x，y)x 2+y22ax， y0这里 V1 可看作以 Dxy 为底，以球面 x2+y2+z2=4a2为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知【知识模块】 多元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， 由于 f(x)在x=0 处可导，则在该点连续，就有 b=f(0)=1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答
11、案】 【试题解析】 令 3x+1=t， 所以【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由于 aabf(x)dx 与 a 无关，所以( aabf(x)dx)a0，即 f(ab)bf(a)0上式对任意 a 均成立，所以令 a=1，有 f(b)bf(1)=0 ，可以验算， =lnablna=ln b 与 a 无关【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (1，1，3)【试题解析】 只需求解三元一次方程组 解得x=1，y=1， z=3【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 5xyz3=0 或 x+yz1=0【试题解析】 已知直线 的一般式方程为显然平面 3xz
12、2=0 不符合题意，可设过该直线的平面束方程为 ：(2+3)xyz(1+2)=0 ，由点(2，2，2)到的距离为 得 化简得2=1，=1 当 =1 时，对应一个平面 1：5xyz 3=0 ； 当 =1 时，对应另一个平面 2：x+y z 1=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 (x，y)x 2+y21)【试题解析】 所有多元初等函数在其有定义的区域内都是连续的【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 3x 2【试题解析】 设 P=excosy+yf(x)，Q=x 3e xsiny由 LPdx+Ody 与路径无关，有即e xsiny+f(x)=3x2e xsiny，于
13、是f(x)=3x2【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 a【试题解析】 因级数【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻两项加括号得新级数 因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量得 积分得 lnln y=lnsin x+ln C 1，通解为 ln y=Csin x 或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 其中C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由 y= 再积分得 其中 C1，C 2 为任意
14、常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 (x)=f(0)=0，而 f(x0+x)f(x 0)=f(x0)+f(x)f(x 0)=f(x)，两边取极限得到 f(x0+x)=f(x0)= f(x)=0，故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于 知 f(0)0，则 x=0 为极小值点，即最小值点f(x
15、)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(，+)，有f(x)0，即有【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ (1)x2(0 1x)在公式中取把函数 f(x)在 x=1 处展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f(2)(x1)2(x 21) 在公式中取消去未知的函数值 即得 f(1)f( 1)=8=f( 1)+ f( 1)8 从而，在 1 和 2 中至少有一个点，使得 f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)，使f() 4 【知
16、识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立； 当 a0 时，由于f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理条件，所以，存在 1(0，a)，2(b， a+b)， 1 2，使得f(a+b) f(b) f(a) f(0)=af( 2)af( 1) 因为 f(x)在(0，c)内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是， f(a+b)f(b)f(a)f(0)0 ， 即f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由于(xlnx)1lnx，分子分母同时除以 x2，则注意到【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】
17、底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为故截面积 楔形体的体积【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xyx 2y 2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值首先求 f(x，y)=x+xyx 2y 2 在闭区域 D 内部的极值：又 g(x， y)=(fxy)2f xxfyy=3，f xx0，得 f(x，y)=x+xyx 2y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 x 轴上约束条
18、件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy x 2y 2+y，解方程组在下面边界的端点(0，0) ，(1，0) 处 f(0，0)=0 ，f(1，0)=0，所以下面边界的最大值为 ，最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上的最大值为2，最小值为4； 在左面边界上的最大值为 0，最小值为4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为2 比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy x 2y 2 在闭区域 D 上的最大值为，最小值为4【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 区域 x2+y2+z2x+y+z，即作球面坐标变换则有【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案
19、】 (1)根据积分与路径无关定理，在 D 内，由可得 yf(y)=2f(y)解得 f(y)=Cy2，由 f(1)=1，得 f(y)=y2(2)取 L，为 2x2+y2=2 并取顺时针方向( 充分小)，L与 L1 所围成的区域记为 D，又 L1 的参数方程为【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 显然， an是正项严格单调递增数列，且有a3=2，a 4=a2+a32a 3=22，假设 an2 n2 成立，则有 an+1=an+an1 2a n2 n1 ，故由归纳法得 an 2n2 于是，所考虑的级数的通项有在2x1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 时绝对收敛原幂级数化为移项后得原幂级数的和函数为 将展开为 x 的幂级数，有而 的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，通过比较系数得原幂级数的系数【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 可以验知，这是全微分方程按解全微分方程办法解之记P(x，y)=y 33xy 23x 2y， Q(x，y)=3xy 23x 2yx 3+y2，有故知这是全微分方程分项组合观察法将原方程通过观察分项组合 (y 33xy 23x 2y)dx+(3xy23x 2yx 3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)3xy(ydx+xdy)(3x 2ydx+x3dy)+y2dy =0即所以通解为其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程
