1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设场 Ax 32y，y 32z，z 32x，曲面 S：x 2y 2z 22z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( ) （A）32（B）一 32（C）（D）2 （A）r1（B） r1（C） r一 1（D）r13 4 设幂级数 在 x6 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为( )（A）2（B） 4（C）（D）无法确定5 二、填空题6 7 _，其中 L：(x 2y 2)2a 2(x2 一 y2)(a0)8 设向量场 A2x 3yzjx2y2zjx2yz2k，则其散度 divA 在点
2、 M(1，1，2)沿方向l2，2，一 1的方向导数 _9 设 L 是从点(0 ，0)到点(2，0)的有向弧段 yx(2 一 x)，则_。10 设 f(u)连续可导，且 ，L 为半圆周 ，起点为原点，终点为 B(2，0)，则 _.11 _。12 _。13 14 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x，y， z)连续，为曲面 2zx 2y 2 位于 z2 与 z8 之间部分的上侧，计算 yf(x，y，z)xdydz xf(x ，y，z)ydzdx2xyf(x，y，z)zdzdy.16 设 xcosydyt 2，f(x，y) 有一阶
3、连续偏导数，求 f(x，y)17 设 L 为曲线xy1 的逆时针方向，计算18 位于点(0 ，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且rAM)，质点 M 沿曲线 L： 自点 B(2，0)到点(0，0)，求质点 A对质点 M 所做的功19 在变力 F yz，xz，xy)的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 M(，)，问 ， ， 取何值时，F 所做的功最大?求最大的功20 质点 P 沿以 AB 为直径的半圆从点 A(1，2)到点 B(3，4) 运动，受力 F 的作用，力的大小等于OP，方向垂直于线段 OP 且与 y 轴的夹角为锐角，求力 F 所做的功21 设
4、 f(x)二阶连续可导，且曲线积分 与路径无关，求 f(x)22 计算 ，其中 S 为圆柱 x2y 2a 2(a0)位于 z一 a 与 za 之间的部分。23 设 S：x 2 y2z。 2a 2，计算24 计算曲面积分 ，其中是曲线绕 z 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧25 计算曲线积分 ，其中 C： ，从 z 轴正向看，C 为逆时针方向26 计算 ，其中 L： ，从 z 轴正向看，L 是逆时针方向27 设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1 ，0z1 的表面与平面 xyz 所截而成，计算 。28 计算 ，其中 L 是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线29 设函数 f(x，y)在 D：x 2y 2
5、1 有连续的偏导数，且在 L：x 2y 21 上有 f(x，y)0证明： ，其中 Dr：r 2x2y 2129 设 ，其中 L 是任一条光滑正向闭曲线， (1)1 且原点在其所围成的区域之外30 求 (x)；31 设 C 为由点 A(a，0)(a0)经过上半平面到点 B(一 a，0)的任意曲线段，求32 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算33 设函数 u(x，y) ，v(x，y) 在 D：x 2y 21 上一阶连续可偏导，又34 设曲线 L 的长度为 l，且 证明：35 36 设 收敛，举例说明级数 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证
6、明一定收敛37 38 若正项级数 收敛，证明： 收敛39 考研数学一（高等数学）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x6 处条件收敛，所以级数 的收敛半径为 R4，又因为级数 有相同的收敛半径，所以 的收敛半径为 R4，于是 的收敛半径为 R2，选(A).【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 C【试题解析】 对函数
7、f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(一 1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则【知识模块】 高等数学部分二、填空题6 【正确答案】 2a 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 P(x ，y)ye x 一 ey y，Q(x，y)xe y e x，【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 1【试题解析】 P(x ，y)xf(x 2y 2)，Q(x，y
8、)yf(x 2y 2)，因为2xyf(x 2y 2)，所以曲线积分与路径无关，故【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 3e【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 2(1ln2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 曲面 2zx 2y 2 上任一点(x，y， z)指向上侧的法向量为 n 一x，一 y，1) ，法向量的方向余弦为【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 因为曲线
9、积分与路径无关，所以有 cosyf y(x，y)，则 f(x，y)siny C(x)，而【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)3f(x)一 2f(x)xe 2x，即f“(x)一 3f(x)2f(x)xe 2x，由特征方程 2 一 320 得 11， 22，则方程f“(x)一 3f(x)2f(x)0 的通解为
10、f(x)C 1exC 2e2x，令特解 f0(x)x(axb)e 2x，代入原微分方程得 a ，b 一 1，故所求 f(x)C 1exC 2e2x【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 曲面：z1 一 x2 一 y2(z0)，补充曲面 0：z0(x 2y 21)，取下侧，由高斯公式得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ，按右手准则，取上侧，【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 取平面 xyz 上被折线 C 所
11、围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为 cos 一 cos 一 cos 设 Dxy 表示曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域，其面积为 A ，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 设 L为任意一条绕原点一周的正向光滑闭曲线，在 L上任取两点M，N，把曲线 L分成 L1，L 2，由 M，N 再作一条曲线 L3，则【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 设由 C(r，0)经过上半圆 到 D(r，0)的曲线段为Cr(r0 且 Cr 位于 C 与 x
12、轴之间)【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 显然曲线积分I1，I 2 都满足柯西一黎曼条件(1) 当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I1I 20，因此 I0；(2)当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们都在 L 内，则，同理 I2一 2，因此 I一 4；(3)当(2， 0)，(2，0)有一个点在 L 围成的区域内，一个点在 L 围成的区域外时，I一 2【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 Pdx QdyP，Q).dx，dy，因为a.b ab，【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
