1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 270 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且在点 x0 处间断，则下列函数在点 x0 处必定间断的是 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)2 下述命题：设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(，+) 上连续；设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(，+) 上有界；设 f(x)在(， +)上为正值的连续函数，则 在( ， +)上也是正值的连续函数；设 f(x)在(，+)上为正值的有界函数，则 在
2、( ，+)上也是正值的有界函数其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设周期函数 f(x)在(，+)内可导，周期为 4，又则曲线 y=f(x)在点 (5，f(5) 处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C） 1（D）24 由曲线 (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为( )5 设 则 f(x)=( )（A）（B）（C） lnx2ex（D）lnx+2ex6 设力 f=2ij+2k 作用在一质点上，该质点从点 M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为 ( )（A）2（B） 1（C） 3（D）47 设 1：x 2+y2+z2
3、R2，z0； 2：x 2+y2+z2R2，且 x0，y0，z0则有( )8 设级数 收敛，则 ( )二、填空题9 =_10 曲线 在 t=1 处的曲率 K=_11 设 = atetdt，则 a=_12 xOz 坐标面上的抛物线 z2=x2 绕 x 轴旋转而成的旋转抛物面的方程是_13 曲面 ze x+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 _14 设 =_15 设 C 为闭区域 D 的正向边界闭曲线，则 C(ex2 y)dx+(x+siny2)dy 可通过 A(A为 D 的面积)表示为_16 级数 的和为_17 幂级数 在收敛区间(a，a) 内的和函数 S(x)为_18 设一阶非齐次线
4、性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_19 特征根为 r1=0，r 2，3 = i 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 讨论方程 2x39x 2+12xa=0 实根的情况21 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)证明：存在， (a，b)，使得：22 证明：当 x0 时，不等式 成立23 计算下列积分：(1) 1 2xmax1，e x dx，其中 x表示不超过 x 的最大整数；(2)已知 求 2n2n+2f(x2n)e
5、 x dx，n=2 ，3，24 求极限25 (1)设 f(x)在 a，b 上非负连续且不恒为零，证明必有 abf(x)dx0； (2)是否存在0，2上的可导函数 f(x)，满足 f(0)=f(2)=1，f(x)1， 02f(x)dx1， 并说明理由26 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D=(x，y)x 2+y21)上的最大值与最小值27 计算曲线积分 其中 L：(x1) 2+y2=2，其方向为逆时针方向28 设曲线 C：y=sinx ，0x，证明：29 求微分方程 y(3y2x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 270 答案与解析一、选择
6、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 反证法若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinxsinx 也在点 x0 处连续，与已知矛盾【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 与 是正确的， 与是不正确的，理由如下： 是正确的设 x0(，+)，则它必含于某区间 a，b中，由于题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续，故在 x0 处连续，所以在( ，+)上连续论证的关键之处是函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续 是正确的设 x0(，+) ，则 f(x0)0，
7、且在 x0 处连续由连续函数的四则运算法则知， 在 x0 处也连续，所以 且在(，+)上连续 是不正确的反例：设 f(x)=x，在区间a，b上f(x)max a，6M，这个界与 a，6有关，容易看出，在区间(，+)上 f(x)=x 就无界了 是不正确的反例：f(x)=e x2 ，在区间(，+)上 0f(x)1所以 f(x)在(， +)上为正值的有界函数，而 =ex2 在(，+)上无界，这是因为当x时， +故应选 B【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的
8、几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=2【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由题中所给式子变形得记则在式两端作(1，e)上的积分，得解得 故应选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 W=f.s，故 W=(2，1，2).(1，1，1)=3【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 1 关于 yOz 面及 zOx 面对称，当 f(x，y，z) 是关于 x 或 y 的奇函数时， 而 f(x，y，z)=
9、z 关于 x 及 y 都是偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 也收敛，将此两级数逐项相加所成的级数 (an+an+1)也收敛也可以举例说明 A，B，D 均不正确【知识模块】 无穷级数二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 所以原极限=e 2 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 2【试题解析】 又 atetdt= atd(et)=tet a aetdt=aeae t a=(a1)e a，所以 ea=(a1)ea，a=2【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 y
10、 2+z2=x2【试题解析】 xOz 面上曲线 f(x，z)=0 绕 x 轴旋转而得的旋转曲面方程为即 y2+z2=x2【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 192x+y4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=ze x+2xy3，则 F x(x，y，z) (1，2，0)=4， Fy(x，y，z) (1，2，0) =2，F x(x，y，z) (1，2， 0) =0， 所以切平面的法向量为(4，2， 0)，由点法式得出切平面的方程为 2z+y4=0 【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中考过多次这种表达式【知识模块】
11、多元函数微分学15 【正确答案】 2A【试题解析】 设 P=e2y，Q=x+siny 2因 由格林公式，有【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 因级数【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x)【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为即r3r 2+ r=0，其对应的微分方程即如上所填【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
12、骤。20 【正确答案】 令 f(x)=2x39x 2+12xa，讨论方程 2x39x 2+12xa=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况显然，所以，应求函数 f(x)=2x39x 2+12xa 的极值，并讨论极值的符号由 f(x)=6x 218x+12=6(x1)(x2)，得驻点为x1=1， x2=2，又 f(x)=12x18，f(1)0，f(2) 0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4 a 当极大值 f(1)=5a 0，极小值 f(2)=4a0，即 4a时，f(x)=2x 39x 2+12xa 有三个不同的零点，因此方
13、程 2x39x 2+12xa=0 有三个不同的实根； 当极大值 f(1)=5a=0 或极小值 f(2)=4a=0，即 a=5 或 a=4 时，f(x)=2x 39x 2+12xa 有两个不同的零点，因此方程2x39x 2+12xa=0 有两个不同的实根； 当极大值 f(1)=5a0 或极小值 f(2)=4a0，即 a5 或 a4 时，f(x)=2x 39x 2+12xa 有一个零点，因此方程2x39x 2+12xa=0 有一个实根【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 对 f(x)应用拉格朗日中值定理知 f(b)f(a)=f()(ba)，(a ，b)，对 f(x)，x 2 在a，b上应
14、用柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 构造辅助函数 则 f(0)=0，且由题设条件很难确定 f(x)的符号，但是所以【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)因分段函数则由定积分的分段可加性得 1 2xmax1，e x dx=1 0( 1)ex dx+010dx+011dx=2e(2)令 t=x2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，2n2n+2f(x2n)e x dx=02f(t)et2n dt=e2n 01tet dt+e2n 12(2t)e t dt=(1e 1 )2e2n 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分
15、学25 【正确答案】 由题意 f(x)0，x a，b，存在 x0a，b，使 f(x0)0，从而 f(x0)0，又由连续性可得， =f(x0)0=存在 0 与 0，当0xx 0 时，恒有 f(x) 0于是 abf(x)dxx0x0+ f(x)dxx0x0+ dx=.20(2)设0 ，2上存在连续可微的函数 f(x)满足题设条件，则在0， 1上，对任意 x(0，1，存在 1(0，x)，由拉格朗日中值定理得 f(x)f(x)=f(1)(x0) ，即 f(x)=1+f(1)x 利用f(x) 1 得 1xf(x)(x(0，1) 由题设f(0)=1 知，这一不等式成立范围可扩大为 x0，1 同样，在1，2
16、上，对任意x1，2)，存在 2(x，2)，由拉格朗日中值定理得 f(x)f(2)=f( 2)(x2) ，即 f(x)=1+f(2)(x2)，利用f(x)1 得 1+(x 2)f(x) ，即 x1f(x)(x 1，2) 由题设 f(2)=1 知这一不等式成立范围可扩大为 z1，2 02f(x)dx=01f(x)dx+12f(x)dx 01(1x)dx+ 12(x1)dx 这与 f(x)所满足的 02f(x)dx1 矛盾，故不存在这样的 f(x)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由于 D 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值先求函数在
17、区域内部的极值点解方程组由于不在区域 D 内，舍去所以函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时 z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y21)，令所有最值怀疑点仅有两个，由于【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由于当 x=y=0 时，被积函数无意义，故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcos， y=rsin，02，使 l 全部被 L 所包围，在 L 和 l 为边界的区域 D 内，根据格林公式，有【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 先将曲线积分化为定积分：则由定积分的性质，得【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 这是不显含 y 型的二阶微分方程 y=f(x，y)，按典型步骤去做即可令 化为 3p2dp=(xdp+pdx)=0，这是关于 p 与 x 的全微分方程，解之得 p3xp=C 1，以初值条件 x=1 时，p=1 代入，得 C1=0，从而得 p 2xp=0，以 x=1 时，y=1 代入，得【知识模块】 常微分方程
