1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 271 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点 （C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定2 两曲线 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( )3 抛物线 y2=2x 与直线 y=x4 所围成的图形的面积为( )（A）（B） 18（C）（D）84 设 Ik=0kex2sin xdx(k=1， 2，3) ，则有（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）
2、I 2I 1 I35 设曲线积分 Lf(x)e xsinydx 一 f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 ( )（A） (ex e x)（B） (ex ex )（C） (ex+ex )1（D）1 (ex+ex )6 设 ： x2+y2+z21 则三重积分 z2dv 等于 ( )7 设正项级数 发散，则中结论正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题8 设 则=_，=_9 设 x1=r(0，1)，x n+1=xnx n2(n=1，2，3，)则=_10 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有
3、使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_11 设 是 f(x)的一个原函数，则 1exf(x)dx=_12 设 a，b， C 的模a = b=c=2 ，且满足 a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_13 函数 u=ex 一 z+xy 在点(2，1，0) 处沿曲面 ex=z+xy=3 的法线方向的方向导数为_14 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 2，3)处取得极小值3，则常数a，b，c 之积 abc=_ 15 设是平面 在第一卦限部分的下侧，则I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 化成对面积的曲面积分为 I=_16 设 f(x)=x+x2，x
4、 ，且周期为 T=2当 f(x)在，) 上的傅里叶级数为(ancosnx+bnsin nx)，则 b3=_17 幂级数 的收敛域为_18 微分方程(1x 2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_19 已知 01f(tx)dt= f(x)+1，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况21 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导证明：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 =f()一 f()成立22 证明：当 成立23 求24 设 f(x)在( ，+)内连续，以 T 为周期，
5、试证明： (1) aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0Tf(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T0Tf(x)dx=025 (1)证明 (2)设 是满足26 求内接于椭球面 的长方体的最大体积27 设 f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何 x，y，t 下式成立 f(tx，ty)=t 2f(x，y)(1)证明 (2)设 D 是由L：x 2+y2=4 正向一周所围成的闭区域，证明： Lf(x，y)ds= divgrad f(x，y)d28 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，
6、曲线积分 Lf(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关，且 (0，0) (t，t2) f(x，y)dx+xcosydy=t 2，求 f(x，y)29 求微分方程 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 271 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且存在 M0 使得任意 x(a，b)有f(x)M，x 对任意一点 x0(a，b)，当 xx 0 时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x) 随着 x 减小而减小且有下界，故存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模
7、块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 故相交于该点将 x=2， 代入y=ax2+b 中得 又因为两曲线相切于该点，故在该点切线斜率相等，即导数相等，所以 将 x=2 代入得 故选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y，如图 131 所示， 两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 I2=I1+2ex2sinxdx 及 2ex2sinxdx0 可得 I2I 1 其次，I3=I1+3ex2sin xdx.其中 3ex2sinxdx=2ex2sinxdx+23ex2sinxdx
8、 =2ex2sinxdx+2e(y+)2sin(y+)dy =2ex2e (x+)2sinxdx0， 故 I3I 1，从而I2I 1I 3，故选 D【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 g=f(x)e xsiny，Q=f(x)cosy积分与路径无关，则 即f(x)e xcosy=f(x)cosy 又由 f(0)=0 解得【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因积分区域的边界曲面含有球面 x2+y 2+z2=1，故采用球面坐标系 的边界曲面方程用球面坐标表示为： r=1，则 为：0r1 ，02故【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题
9、解析】 正项级数 所以当 n 足够大时，有an2an，必收敛 可见只有正确【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 所以 =5，【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 0；rr 2【试题解析】 x n+1x n=x n20，所以数列x n单调减少 x 1=r(0，1)，x2=x1 x120，并且 x2x 1，所以 0x 2x 11由数学归纳法易知数列x n【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至
10、少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)dx=1exdf(x)=xf(x) 1e 1ef(x)dx由于【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 -6【试题解析】 (a+b+c).(a+b+c)= a 2+b 2+c 2+2a.b+2b.c+2a.c，因为a+b+c=0，故有 a 2+ b 2+c 2+2(a.b+b.c+ca)=0，则【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 【试题解析】 曲面 ezz+xy=3 的法线方向为 n=(y，x，e z1)
11、(2，1，0) =(1，2，0)，则单位法向量为故方向导数为【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(2，3)处，z x=0，z y=0，又 z(2，3)=3，从而可求出 a，b ，c 分别为1，6，5，故 abc=30【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 指定侧的法向量 n 的方向余弦为由两类曲面积分的联系，有【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 1，3)【试题解析】 令 y=x2，则为收敛的交错级数因此 的收敛域为1，1)，又1x21，即1x13
12、，故原级数 的收敛域为1，3)【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【试题解析】 原方程化为由初值 y(1)=1 解出 得特解【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 x01f(tx)dt= xf(x)+x令 u=tx，则上式变为 01f(u)du= xf(x)+x，两边对 x 求导得用一阶非齐次线性微分方程通解公式计算得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 ，故应求函数 f(x)=
13、axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值由 f(x)=aex+axex=aex(1+x)，知驻点为 x=1，又 f(x)=2ae x+axex=aex(2+x)，f(1)0，所以 x= 1 是函数的极小值点，极小值为 当 时，函数 f(x)无零点，即方程无实根；当 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根；当 时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；当 b0 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 它们在区间a，b上连续，在(a， b)内可导，且 G(x)= 满足柯西中值定理的三个条件于是在(a，
14、b)内至少有一点 ，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 当 而 coxs0，所以不等式成立 上式中，当但是，2xcosx2sinx+x 3 的符号无法直接确定为此，令 g(x)=2xcosx2sinx+x 3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(xsinx)0，所以，当 x时，g(x)=2xcosx2sinx+x 30从而，当 x 时，【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 (1) aa+Tf(x)d=a0f(x)dx+0Tf(x)dx+TT+af(x)dx，其中 TT+af(x)dx=TT+af(x T)dx 0
15、af(s)ds=0af(x)dx代入上式得 aa+Tf(x)=a0f(x)dx+0Tf(x)dx+0af(x)dx=0Tf(x)dx(2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0x+Tf(t)dt 0xf(t)dt=xx+Tf(t)dt0Tf(t)dt=0(3)只需注意f(x)dx= 0xf(t)dt+C， 0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1) (2)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v，P(x， y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=
16、8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 因此需要求出 v=8xyz在约束条件 下的极大值由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大长方体，最大体积为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 (1)方程 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 t 求导得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(xy) 再对 t 求导得， xxf21(tx，ty)+yf 12(tx，ty)+yxf 21(tx，ty)+yf22(tx，ty)=2f(x，y)于是 txtxf 11(tx，ty)+ty 12(tx，
17、ty)+tytxf 21(tx，ty)+tyf22(tx，ty)=2t 2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得 x2fxx(x，y)+2xyf xy(x，y)+y2fyy(x，y)=2f(x，y)，即结论成立(2)由 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(x ，y)得 txf1(tx，ty)+tyf 2(tx，ty)=2t 2f(x，y)，即 xfx(x，y)+yf y(x，y)=2f(x ，y)，又(其中 n0 为点(x ，y)处的单位切向量) 【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 L(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=sin
18、y+C(x)求 f(x，y)转化为求 C(x)因 f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx=sinydx+xdsiny+=dxsiny+0xC(s)ds，则有xsiny+ 0xC(s)ds (0，0) (t，t2) =t2，即 tsin t2+0tC(s)ds=t2=sint2+2t2cost2+C(t)=2t，因此 f(x，y)=siny+2xsinx 22x 2cosx2【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 这是 y=f(y，y)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可以下进行讨论Y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式 可改写为当 C10 时，由式得当C1=0 时，由式得 x+C 2=y 1 ；当 C10 时，由式 得综上所述即得原方程的通解【知识模块】 常微分方程
