1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 272 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 则在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续2 设常数 1，函数则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导，f(0)=a（D）可导，f(0)=03 曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为( )（A）（B）（C） 9（D）64 积分 ( )5 两个半径为 R 的正交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( )6 设 an0(n=0，1，) ，且幂级数 anx2n
2、+1 的收敛半径为 4，则 ( )二、填空题7 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_8 当 x 时，若有 则 A=_，k=_ 9 的可去间断点为_10 曲线 的凹区间是_11 =_12 经过点 A(1，0，0) 与点 B(0，1，1)的直线绕 z 轴旋转一周生成的曲面方程是_13 函数 u=3x2y2yz+z 3，v=4xy z 3，点 P(1，一 1，1)u 在点 P 处沿 grad v P 方向的方向导数等于_14 设 =_15 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中D=(x，y) x 2+
3、y2t216 设在光滑曲面所围闭区域 Q 上，P(x ，y，z) ，Q(x，y，z)，R(x，y，z) 有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为_17 若将 在0，2上展开成正弦级数，则该级数的和函数 S(x)为_18 幂级数 的收敛域为_19 用待定系数法确定微分方程 y2y=x 2+e2x+1 的特解形式(不必求出系数)是_20 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 在数 中求出最大值22 求摆线 的曲率半径23 设24 计算不定积分25 设 an=01x(1x) n1 dx(n=1，2
4、，)(1)求 an；(2)求 (1) nnan 的和26 在第一象限的椭圆 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大27 设 L 为曲线 x2+y2=R。(常数 R0)一周，n 为 L 的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且28 设曲线 C：x 2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：29 求微分方程 y+2y+2y= 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 272 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(x)在 x=0 处连续故 f(x)可导，但不存在，即 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 一元函数
5、微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 考虑 x0 处，由于 1，有 当又 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续，不选 A再看 f(0)是否存在，等于多少而当 令 x0 ，由于1，再由夹逼定理得 所以 f(0)存在且等于 0选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 记所求面积为 S由于对称性 S=16S1，S 1 对应第一卦限中曲面被截得部分的面积，该部分在 xOy 面的投影域为因为【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 D【试题
6、解析】 例如收敛半径都是 4，所以幂级数 在x4 内收敛但在 x=4 处，上述级数的通项 42+(1) n不趋于零，级数在 x=4 处发散，所以它的收敛半径R=4但是它的 不存在故应选 D【知识模块】 无穷级数二、填空题7 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=1，则 f(1)=f(1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)f(1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用第二数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 1nk 时，有 f(n)=na当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k1)+f(
7、2)=(k1)a+2a=(k+1)a 故对一切正整数 n，有 f(n)=na令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=f(n)=(na)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 x=1【试题解析】 间断点有 x=2，11，0，1在 x1=2 点处，由于可知 f(x)在 x1=2 点的半径小于 1 的去心邻域内有界；同时，任一半径小于 1 的去心邻域的 f(x)的函数值无限振荡，振幅不趋于0
8、，所以 x1=2 是 f(x)的振荡间断点 在 x2=1 点处，由于在 x2=1 点的半径小于 1 的去心邻域内有界；而 从而可知 x2=1 是f(x)的可去间断点在 x3=0 点处由于 所 x3=0 是 f(x)的无穷间断点在 x4=1 点处，由于 所以 x4=1 是 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y0，曲线是凹的；当 x0 时，y0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 ln 3【试题解析】 因 所以原积分= =ln(2+x1e) 02=ln 6ln 2=ln 3【知识模块】 一元函数积分学1
9、2 【正确答案】 x 2+y22z 2+2z1=0【试题解析】 由直线方程的两点式得直线 AB 的方程：写成参数式： x=1+t，y=t，x= t，得旋转曲面 S 的方程： x 2+y2=(1z) 2+z2【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 【试题解析】 grad v P=(4，4，3)，单位化为grad u P=(6，1， 5)，所以所求方向导数【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 -sin【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 f(0，0)【试题解析】 因被积函数 f(x，y)在闭区域 D 上是
10、抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限； N次积分化分子为积分上限的函数因【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 0【试题解析】 因 P，Q，R 在 上有二阶连续偏导数，故 Ryx=Rxy，Q zx=Qxz，P zy=Pyz，从而 由高斯公式有【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)知，【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 1，1【试题解析】 为缺项级数，不能通过 求收敛半径 R，可用比值审敛法求 R具体为：当x 21，即x1 时，级数绝对收敛；当x 21，即x1 时，级数发散
11、故 R=1当 x=1 时，原级数 收敛从而收敛域为1 ，1 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 y *=x(ax2+bx+c)+dxe2x【试题解析】 特征方程为 r22r=0，特征根 r1=0，r 2=2 对 f1(x)=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(ax2+bx+c)； 对 f2(x)=e2x， 2=2 也是特征根，故有y2*=dxe2x从而 y*=y1*+y2*就是特解【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 y3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)，特征方程为r33r 2=0，相应齐次线性方程即为
12、y3y“=0【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 先考查连续函数 由得 x=e，且当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少所以，f(e) 为 f(x)的最大值，而2e3，于是所求的最大值必在【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 故摆线的曲率半径【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 u=sin2x，则有【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1)作积分变量替换，令 t=1x， a n=01x(1x) n1 dx=0
13、1(1t)tn1 (dt)= 01(tn1 t n)dt= (2)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设因为椭圆上任意一点(x ，y) 处的法线方程为 所以原点到该法线的距离为构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x ，y)根据条件极值的求解方法，先求根据实际问题，与原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 如图 1612 所示， 设 0=(cos，sin)为 L 沿逆时针方向的单位向量将它按顺时针方向转 便得 L 的外法线方向的单位向量为 n0=(sin，cos)故方向导数其中D=(x，y
14、) x 2+y2R2)为 L 所围成的有界区域【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后对二重积分进行估值 由格林公式，有Cxcosy2dyysinx 2dx= (cosy2+sinx2)d， (*)其中 D=(x，y) x 2+y2+x+y0=是由 C 围成的圆域，横坐标最小为由积分的保号性得，【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 先用三角公式将自由项写成 ex +ex cos x，然后再用叠加原理和待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 y=(C 1cos x+C2sin x)ex 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项 ex ，e x cos x，分别考虑 y+2y+2y=e x ， 与 y+2y+2y=e x cos x 对于，令 y 1*=Aex ，代入可求得 A=1，从而得y1*=ex 对于，令 y 2*=xex (Bcos x +Csin x)，代入可求得 B=0， ，从而得 y2*= xex sin x由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=ex (C1cos x+C2sin x)+e x+ xex sin x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
