1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 274 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在( 1，1)内的奇函数，且 则 f(x)在 x=0处的导数为 ( )（A）a（B） a（C） 0（D）不存在2 设 f(x)=f(x)，且在(0 ， +)内二阶可导，又 f(x)0，f(x) 0，则 f(x)在(， 0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增加，凸（B）单调减少，凸（C）单调增加，凹（D）单调减少，凹3 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f(x)0，f(x)0I 1= f(b)+f(a)，I2=abf(x)dx，I
2、2=(ba)f(b)，则 I1，I 2，I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I14 已知向量 的始点 A(4，0，5)，则 B 的坐标为 ( )（A）(10 ，2，1)（B） (10，2，1)（C） (10，2，1)（D）(10 ，2，1)5 b= cos(x2+y2)曲，c= cos(x2+y2)2d，其中D=(x，y) x 2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab二、填空题6 =_7 若函数 处取得极值，则 a=_8 设 f(a)存在，f(a)0 ，则 =_ 9 =_10 设 f(si
3、n2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_11 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2y 2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I=xf(y2)d=_12 设一个矢量场 A(x，y，z) ，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为 k)，方向指向原点，则 div A=_13 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_14 若 anxn 在 x=3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_15 设 整数 n0，则 f(2n+1)(0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 求 fg(x)17 f(x)在( ，+)上连续
4、， 且 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明：ff(x)至少在两点处取得最小值18 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=2，n1)，f (n)(x0)0(n2)证明：当 n 为奇数时，(x 0，f(x 0)为拐点19 计算定积分20 设常数 0a 1，求21 求到平面 2x3y+6z4=0 和平面 12x15y+16z1=0 距离相等的点的轨迹方程22 求直线 L： 在平面 ：xy+3z+8=0 的投影方程23 设 其中 f，g 均可微，求24 设 讨论它们在点(0，0)处的偏导数的存在性；函数的连续性； 方向导数的存在性；函数的可微性25 设 S 为平面
5、xy+z=1 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 z 轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算 I= f(x，y，z)+xdydz+2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+xdxdy26 设函数 f(x)在0，+)上连续，若对任意的 t(0，+)恒有其中 (f)=(x， y，z) x 2+y2+z2t2)，D(t)是 (t)在 xOy 平面上的投影区域，(t)是球域 (t)的表面，L(t)是 D(t)的边界曲线证明： f(x)满足 0tr2f(r)dr+tf(r)=2t4，且 f(0)=027 求微分方程 y+5y+6y=2ex 的通解28 求解(1+ )ydx+(yx)dy=02
6、9 求 yy=e x 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 274 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)为( 1，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是而令 x=t 时，即 f (0)=f+(0)=a，则 f(0)=a，应选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，由f(x)0 可知 f(x)在(0，+)内单调增加；由 f(x)0 可知 f(x)在(0，+)内为凸曲线由 f(x)=f(x) 可知 f(x)关于 y 轴对称，则 f(x)在( ，0) 内单调减少，为凸曲线，选 B
7、【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x) 0，f(x) 0，y=f(x)单调减少且图形为凹，画图如图132 所示，I 1 是梯形 ABCD 的面积，I 2 是曲边梯形 ABCD 的面积，I 3 是长方形 ABCD 的面积由图 132 可知，I 3I2I1【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 设 B(x，y，z)，则所以 x4=6 ，y=2 ，z5=4，即 x=10，y=2 ，z=1【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)x 2+5y21，所以(x 2+y2)2x2+y2 1由cosx
8、在 上单调减少可得 cos(x2+y2)2cos(x2+y2)cos 0因此有cba【知识模块】 多元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acosc+cos3c，因a=2这时 f(x)=2sinx3sin3x，为极大值点【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 将分子用佩亚诺余项泰勒公式展开至 o(xa) 2)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln(1x)x 2+C(0x1)，其中 C 为任意
9、常数【试题解析】 由题意【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 0【试题解析】 因积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由题意有【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解析】 级数 收敛等价于S n收敛对于正项级数 Sn为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列s。)收敛等价于S n有界( 或有上界 )【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 3【试题解析】 因 anxn 在 x=3 收敛，故由阿贝尔定理知，x3 时，anxn
10、 绝对收敛又因 anxn 在 x=3 条件收敛，故x3 时， anxn 发散如若不然，必存在 x1，使x3 且在 x=x1 处 anxn 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1时，特别是 x=3 时 anxn 绝对收敛这与题设在x= 3 处条件收敛相矛盾综上，由收敛半径的定义便有 R=3【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 (1) n(2n)!【试题解析】 由泰勒级数的唯一性，对于 n=0，1，有【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 本题考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 由 g(x)的表达式知：当 g(x)0，即2ex10
11、x0)或x 210x0 ，而 2e x 10x0=xln2x0=xln2， x 210x0=1x1x0=0 x1 ；当 g(x)0，即2ex10x 20或x 210x 0 ，而 2e x10x0=xln2x0=ln2 x0!x 210)x0)=x1 或 x1x0=x 1 综上，得【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 令 F(x)=f(x)x 0，则 F(x)在(，+)上连续，且 F(x0)0，由 知存在 ax 0，使得 F(a)0；存在bx 0，使得 F(b)0，于是由零点定理，知存在 x1(a，x 0)，使得 F(x1)=0；存在x2(x0，b)，使得 F(x2)=0，即有 x1
12、x 0x 2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得 ff(x1)=f(x0)=ff(x2)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限当 f(2k+1)(x0)0 时，存在 x0 的某个去心邻域0，则 xx 0+时，f(x)0；xx 0 时，f(x)0，故(x 0，f(x 0)为拐点；当 f(2k+1)(x0)0 时，同理可得(x0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 对第二项作积分变换 x=t ，得【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 设所求点的坐标为(x，
13、y，z) 由点到平面的距离公式，有两边去绝对值符号，化简得到： 34x30y38z+93=0 或 134x180y+262z 107=0 这是所要求的两个平面方程【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 先求出一平面 1，使它过直线 L 且垂直于平面 设直线 L 的方向向量为 s，平面 1 的法向量为 n1。平面 的法向量为 n，则 n1s，n 1n，而下面再求出 L 上的某点坐标为此，在方程 中令 x=0，得y=4，z=1，则平面过点(0，4，1)于是平面 1 方程为(x0)2(y4)(z+1)=0，即 x2y z+7=0因直线 L 在平面 上的投影既在平面丌上，又在平面 1
14、上，因而其方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 由链式法则直接求导得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (1) 按定义易知 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0，故在点(0，0)处偏导数存在 (当(x，y)=(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0) 处连续但上式并不成立(例如取 y=kx，上式左边为 )故不可微(2)以下直接证明成立，由此可推知 ，均成立事实上，所以按可微的定义知，g(x，y) 在点(0，0) 处可微【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 将 S 投影到 xOy 平面，其投影域(如图 1613)为D=(x，y)xy1，x0，y
15、0 从 S 的方程解出 z=1x+y直接将该积分化为一个二重积分由【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 D(t)=(x ，y) x 2+y2t2，(t)=(x，y，z)x 2+y2+z2=t2，L(t)=(x， y)x 2+y2=t2，且 =02d0sind0tr2f(r)dr=40tr2f(r)dr， =02d0tr2f(r)dr=20tr2f(r)dr，由题设条件，有 47 0tr2f(r)dr+2tf(t)=20tr2f(r)dr+4t4，即 0tr2f(r)dr+tf(f)=2t4又 t0，则【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r2+5r
16、+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=2，r 2=3于是，对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e2x +C2e3x 设所给非齐次方程的特解为 y*=Aex将 y*(x)代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=ex 从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e2x +C2e3x +ex ，其中 C1， C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令代入上述方程得两边积分得 lnu+e u= lny+C 1，即(u+e u)y=C，将故原方程的通解为 其中C 为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y=y+ex 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处使二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 yy=e x，求得通解 y=C 1ex+C2ex + xex 当 x0 时，方程为 y y=ex ，求得通解 y=C 3ex+C4ex xex 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也连续，则有其中C1，C 2 为任意常数此 y 在 x=0 处连续且 y连续又因 y=y+ex ，所以在 x=0处 y亦连续，即是通解【知识模块】 常微分方程
