1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 278 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是 ( )（A）(1，0)（B）（C） (1，0)（D）2 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )3 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A） 01f(t)dt（B） 01f(t2)dt（C） 01f(t2)dt（D） 01f(t)f(t)dt4 已知 且 a 与 b 不平行，则以 OA 和 OB
2、为邻边的平行四边形OACB 的对角线 OC 上的一个单位向量为 ( )5 设直线 L 为 平面 为 4x2y+z2=0，则 ( )（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 相交但不垂直6 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u 1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u21(x，2x)= ( )7 设是 yOz 平面上的圆域 y2+z21，则 (x2+y2+z2)dS 为 ( )（A）0（B） （C）（D）8 微分方程 y4y+4y=x 2+8e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c，d 为常数)( )（A）ax 2+bx+Ce2x
3、（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x二、填空题9 设 则 y=_10 设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_11 反常积分 =_12 设 u=x2+3y+yz，则 div(grad u)=_13 设空间区域=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求下列极限：15 求极限 ai0，且 ai1，i=1 ，2，n，n216 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sinx) 3f(1sinx)=8x+(x) ，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无
4、穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程17 求曲线 y=e1 上的最大曲率半径18 设 f(x)在( ，+)内有定义，且对任意 x 与任意 y，满足 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f(0) 存在且等于 a，a0证明：对任意 x，f(x)存在，并求 f(x)19 计算20 设 求曲线 y=f(x)与直线 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积21 求函数 f(x，y)=x 2xy+y 2 在点 M(1，1)沿与 x 轴的正向组成 角的方向 l 上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 022
5、求证：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 下存在最大值和最小值，且它们是方程 k2(Aa 2+Cb2)k+(ACB 2)a2b2=0 的根23 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 围成的两块区域，求二重积分 ex2+sin(x+y)d24 计算曲面积分 I= (x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中为上半球面的上侧25 判别级数 的敛散性26 求27 求级数 的收敛域及其和函数28 求(4 x+y)dx (2 xy)dy=0 的通解29 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P
6、(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 278 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过点(0，1)的切线方程为y1=6x ，因此该切线与 x 轴的交点为【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定
7、理的条件，故存在(0， 1)，使得xf(x) x=0，即 f()+f()=0，有 所以选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为 0x+TTg(t)dt=0xg(t)dt+xx+Tg(t)dt=0xg(t)dt+0Tg(t)dt，若 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt，则 0Tg(t)dt=0反之，若 0Tg(t)dt=0，则0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以四个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅 0Tf(t)f(t)dt= f(t)2 0T= f2(T)f 2(0)
8、=0，因此，只有 0xf(t)f(t)dt 是以 T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由向量加法运算的几何意义，以 a，b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b，故它的单位向量为 应选 A【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s= =(28，14，7)，平面 的法向量为 n=(4，2，1)，因此 s 与 n 平行，从而直线 L 与平面 垂直故选C【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x
9、 求导得 u11+u12+2u21+4u22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u 12+2u12=2x， 将式及 u12=u21，u 11=u21代入式中得【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因：x=0 且 y2+z21，故 Dyz=(y，z)y 2+z21，从而【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r24r+4=0，特征根是 r1，2 =,2而 f1(x)=x2， 1=0非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2(x)=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以y2=dx2e2xy 1*+y2*就是特
10、解，选 B【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导，得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，f(x)dx=lnx+C ，【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 用柱面坐标，【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)当 x0 时，tanx x，(2)这是“1 ”型未定式极限，可用公式 来计算，事实上 lnu=ln1+(
11、u1)u1(u1) 故原式= (3)这是“ ”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限或利用等价无穷小代换 ex 1x(x0) ，则(4)(5)原式= (6)当 x0 时，etanxe sinx=esinx(etanxsinx 一 1)tanxsinx，xsin 2xx 3，故根据归结定理，取 (9)当 x=0 时，原式=1；【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故曲线在(6，f(6)处和点 (1，f(1)处有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)由
12、则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x=6)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 y=ex，y=e x 得曲线 y=ex 上任意点 P(x，y)处的曲率令为曲率 K=K(x)的极大值点，亦必是最大值点，且其最大曲率为其中，则曲线 y=ex 上具有最大曲率的点(x 0，y(x 0)处的曲率圆的曲率半径【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 将 y=0 代入定义式，有 f(x)=f(x)+f(0)ex，所以 f(0)=0于是=f(x)+exf(0)=f(x)+aex所以对任意 x，f(x) 存在，且
13、f(x)=f(x)+aex解之，得 f(x)=ex(aex.ex dx+C)=ex(ax+c)由 f(0)=0，有 C=0从而 f(x)=axex【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x 的极限，可知 当 x0 时，y=f(x)与 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时 所以所求旋转体体积【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必存在最大值和
14、最小值设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 则(x1，y 1)，(x 2，y 2)应满足方程记相应乘子为 1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足解得1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理 2=Ax22+2Bx2y2+Cy22，即 A，A ：是 f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值 又方程和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 2(Aa 2+Cb2)+(ACB 2)a2b2=0，所以 1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 区域 D 如图 165 所示， 第一象限部分记为 D1，第三象限部分记为 D2，于是
15、=01dxx3xex2dy+1 0dxxx3ex2dy+01dxx3xsin(x+y)dy+1 0dxxx3sin(x+y)dy=01ex2(xx 3)dx+1 0ex2(x3x)dx 01cos(x+x)dx+ 01cos(x+x3)dx 1 0cos(x+x3)dx+1 0cos(x+x)dx 令 x=t ，则第 2 个积分与第 1 个积分可合并，第 3 个积分与第 6 个积分相抵消，第 4 个积分与第 5 个积分相抵消于是 原式=2 e x2(xx 3)dx=01ex2dx2 01ex2x2dx2 =ex2 01 01euudu=e1(e uue u) 01=e2【知识模块】 多元函数积
16、分学24 【正确答案】 记 S 为平面 z=0(x2+y2a2)的下侧， 为与 S 所围成的空间区域，则【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 故原级数收敛【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 可见收敛半径 R=3当 x=3 时，级数成为 是收敛的交错级数；当 x=3 时，级数成为 是发散级数，故原级数 的收敛域为3， 3)设 S(x)为所给级数的和函数，则在上式两边同时积分，得故所求级数的和函数为【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令解得 h=3，k= 1，此时原方程化为积分得X22XYY 2=C1将 X=x3，Y=y+1 代入上式，得到所求通解为 x22xyy 28x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(X=x)，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1S 2=1，知两边对 x 求导得即 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为于是 y=eC2x+C2 注意到 y(0)=1，并由 (*)式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是y=ex【知识模块】 常微分方程
