1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 27 及答案与解析一、填空题1 设 yy(x)满足 ，且有 y(1)1，则_。2 微分方程 y一 xey 0 的通解为_3 微分方程 yy“一 2(y)20 的通解为_4 微分方程 的通解为_5 以 yC 1exe x(C2cosx C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_6 设 y(x)为微分方程 y“一 4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 8 设na n收敛，且 收敛，证明：级数 收敛9 10 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 收敛；(2)11 12
2、设u n，c n为正项数列，证明：13 对常数 p，讨论幂级数 的收敛区间14 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x) q 1，令 unf(u n1 )(n1， 2，)，u 0a，b，证明：级数 绝对收敛15 设 f(x)在( 一，) 内一阶连续可导，且 证明：收敛，而 发散16 设 f(x)在 x0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数绝对收敛17 设 yy(x) 满足 yx y，且满足 y(0)1，讨论级数 的敛散性18 求幂级数 的收敛区间19 求函数 f(x)In(1 一 x 一 2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域20 求幂级数 的和函数21 求幂级数 的和
3、函数22 求幂级数 的和函数23 23 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xyye x 的满足 的解24 求 F(x)关于 x 的幂级数；25 求 的和26 将函数 展开成 x 的幂级数26 设 ，且 a01，a n1 a nn(n0，1，2，)27 求 f(x)满足的微分方程；28 求29 证明 满足微分方程 y(4)y0 并求和函数 S(x)30 将函数 f(x)2x( 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数的和31 将函数 f(x)x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数32 33 34 设 ，对任意的参数 ，讨论级数 的敛散性，并证明你的结论
4、34 设函数 f0(x)在(一，)内连续，35 证明：36 证明： 绝对收敛37 考研数学一（高等数学）模拟试卷 27 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 yC 或者 C 1xC 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 lnxC【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 y一 3y“一 4y一 2y0【试题解析】 特征值为 11， 2，3 1i ，特征方程为 (1)(1i)(l i)0，即 3 一 32420，所求方程为 y一 3y“一 4y一
5、 2y0【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 y“一 4y4y0 的通解为 y(C 1 C2x)e2x，由初始条件 y(0)1，y(0) 2 得 C11，C 20，则 ye 2x，于是【知识模块】 高等数学部分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 令 Sna 1a 2a n，S n1 (a 1 一 a0)2(a 2a 1)(n1)(an 1 一 an)，【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 (1)(2)【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【
6、知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 ，得幂级数的收敛半径为 R1(1)当 p0 时，记qp，则有 ，因而当 x1 时， 发散，此时幂级数的收敛区间为(一 1，1) ；(2)(3)【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 由u n1 一 unf(u n)一 f(un 1)f( 1)u n 一un1 qu nu n1 q 2u n1 u n2 q nu 1u 0【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由 yxy 得 y“1y，再由 y(0)1
7、得 y(0)1，y“(0)2，根据马克劳林公式，有【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 f(x)ln(1 一 x 一 2x2)ln(x1)(12x)ln(1 x)In(12x)，【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为一 1，1，【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 由 ，得收敛半径 R，该幂级数的收敛区间为(一， )，【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
8、部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 显然级数的收敛域为(一，)，显然 S(x)满足微分方程 y(4)一 y0y (4)一 y0 的通解为 yC 1exC 2ex C 3cosxC 4sinx，由S(0)1，S(0)S“(0)S(0) 0 得【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 显然函数 f(x)是在 一 1，1上满足收敛定理的偶函数，则【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 令 Sn(a 1 一 a0)(a 2 一 a1)(a n 一 an1 )，则 Sna n 一 a0【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 对任意的 x(一 ，)，f 0(t)在0，x或x，0上连续，于是存在M0(M 与 x 有关)，使得f 0(t)M(t 0，x或 tx，0)，于是【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
