1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 280 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)2 以下 4 个命题：设 f(x)是( ，+) 上连续的奇函数，则 +f(x)dx 必收敛，且 +f(x)dx=0； 设 f(x)在( ，+) 上连
2、续，且 R Rf(x)dx 存在， +f(x)dx 出必收敛，且 +f(x)dx= R Rf(x)dx； 若 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散，则 +f(x)+g(x)dx 未必发散； 若 0f(x)dx 与 0+f(x)dx 都发散，则 +f(x)dx 未必发散正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 曲线 x2+y2+z2=a2 与 x2+y2=2az(a0)的交线是 ( )（A）抛物线（B）双曲线（C）圆（D）椭圆4 两条平行直线 L1：之间的距离为( )5 三个非零向量 a，b 与 c，则 ab+bc+ca=0 是 a，b，c 共面的 ( )
3、（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件6 若函数则函数G(x，y)=( )（A）x+y（B） xy（C） x2y 2（D）(x+y) 27 设三元函数 点 M(0，0 ，0)，始于点 M 的单位向量l=(cos，cos，cos)考虑点 M 处的偏导数 则 ( )8 设曲线 为 x2+y2+z2=1，z=z 0(z 01) ，由 z 轴正向往负向看去为逆时针方向，则曲线积分 (x2+y2)dx+(y2+xz)dy+(z2+xy)dz 的值为 ( )（A）0（B） 1（C） 1（D）9 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f
4、(x)f(x)的通解(其中 C 为任意常数)是 ( )（A）y=f(x)+Ce f(x)（B） y=f(x)+1+Cef(x)（C） y=f(x) C+Cef(x)（D）y=f(x)1+Ce f(x)10 设以下的 A，B，C 为某些常数，微分方程 y+2y3y=e xsin2x 有特解形如 ( )（A）e x(A+Bcox2x+Csin2x)（B） ex(Ax+Bcos2x+Csin2x)（C） ex(A+Bxcos2x+Cx sin 2x)（D）xe x(A+Bcos2x+Csin2x)二、填空题11 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 ms，问在 2s 末
5、扰动水面面积的增大率为 _m2s12 设 =_13 若 则 f(x)=_14 若 (r)是在(0，+) 上具有一阶连续导数的函数，div(r)r=r 2，其中 r=(x，y，z)，r=r，则 (r)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 已知求f(x)17 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程18 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb，试证：在 a，b内存在 ，使得19 设函数 f(x)与 g(x)在区间 a，b)上连续且均单调增加，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b 一 a
6、)abf(x)g(x)dx20 设 求f(x)dx21 计算22 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() 0g(x)dx=g()af(x)dx23 设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+ yf(u，v)dudv，其中 D 由y=1，x=2 围成，求 f(x，y)24 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y) axb，ayb)，比较的大小，并说明理由25 计算 其中为球面 x2+y2+z2=1 的外侧26 判别下列正项级数的敛散性：27 判别级数 的敛散性28 将函数 展开成
7、 x2 的幂级数，并求出其收敛范围29 求 y2yy=1 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 280 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( ，3)(3，+)，f(x)在区间(一，3)及(3，+)上均是单调减少的故任意不包含点 x=3 在内的区间(x 1，x 2)上，函数 f(x)均单调减少故选 A 另外选项 B 错误，可举反例：x 03x 2，则【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 +f(x)dx 收敛则对任意常数 a，使 af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛，此时 +f
8、(x)dx= af(x)dx+a+f(x)dx设 f(x)=x，则 f(x)是(，+)上连续的奇函数，且 R Rf(x)dx=0但是 0f(x)dx= 0xdx=， 0+f(x)dx=0+xdx=，故 +f(x)如发散，这表明命题 ，都不是真命题 设 f(x)=x，g(x)=x，由上面讨论可知 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散，但 +f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题故应选 A【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 x 2+y2+z2=a2 表示球心在原点、半径为以的球面，而 x2+y2=2az 表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交
9、线是圆应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L1 上取点 M1(x1，y 1，z 1)，则 M1 到 L2 的距离(如图 142)其中 M2(x2，y 2，z 2)是 L2 上的点，s 2 是 L2 的方向向量所以 应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 设 ab+bc+ca=0，即 nb=bcca，于是(ab).c=(bc).c(ca).c，混合积中有两向量相同，则该混合积为零，所以 (ab).c=0于是a，b，c 共面反之，设 a，b ，c 共面，例如取
10、a=i，b=j，c=i+j，显然它们共面，又ab+bc+ca=ij+j(i+j)+(i+j)i=kkk= k0，所以条件不必要【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 B【试题解析】 于是=(xy)xyf(t)=(xy)u，即 G(x，y)=xy【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 存在，故应选 D【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 设 P：x 2+yz，Q=y 2+xz，R=z 2+xy，则由斯托克斯公式可得其中是平面 z=z0 内且以 曲线为边界的那部分的上侧【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶非
11、齐次线性微分方程的通解公式得 y=e f(x)dx C+f(x)ef(x)ef(x)dxdx =ef(x) C+f(x)def(x)=Cef(x) +f(x)1， 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 B【试题解析】 y+2yy=e xsin2x= 对应齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e3x ，自由项 所对应的特解形式 y1*=Axex；自由项为所对应的特解形式为 y2*=ex(Bcos 2x+Csin 2x)因此本题所对应的特解形式为 y *=y1*+y2*=ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x) 选 B【知识模块】 常微分方程二、填空题11 【正确答案】
12、 144【试题解析】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2).6=144(m2s)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 令 t=x2，则【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 r2+Cr3 (C 为任意常数)【试题解析】 根据散度的定义，原方程可化为化简得线性方程 r(r)+3(r)=r 2，解之得 (r)= r2+Dr3
13、(C 为任意常数)【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为由题设故(1+t)(t) (t)=3(1+t)2，即【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值则对于任意 xa，b有 mf(x1)M， (1)mf(x 2)M， (2) mf(x n)M， (n)(1)+(2)+(n) 得 mnf(x1)+f(3x2)+f(xn)nM
14、，故由介值定理可得存在 a，b，使得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 作 F(x)=axf(t)dtaxg(t)dt(xa) axf(t)g(t)dt，有 F(a)=0， F(x)=f(x)axg(t)dt+g(x)axf(t)dt axf(t)g(t)dt(x a)f(x)g(x) = axf(x)g(t)dt+axf(t)g(x)dt axf(t)g(t)dt axf(x)g(x)dt =axf(x) f(t)g(t)g(x)dt 由于 atx 且 f(x)与 g(x)均单调增加，故可知 F(x)0又 xa，于是有 F(b)F(a)=0证毕【知识模块】 一元函数微分学20 【
15、正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1；当 0x1 时，f(x)dx=xdx= +C2；当 x0 时，f(x)dx=sinxdx=cosx+C 3因为 f(x)在( ，1) 内连续，所以f(x)dx 在(，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处连续可导，因此C3=1+C2又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的常数【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由分部积分法可知又因为 f(1)=0= 01ex dx= ex 01= e1 1【知识模块】 一元函数积分学2
16、2 【正确答案】 记 G(x)=G(x)xbg(t)dtg(x) axf(t)dt，则可以求得 G(x)的原函数为F(x)=axf(r)dtxbg(t)dt+C，其中 C 为任意常数因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以F(x)：在a，b 上连续；在(a ，b)内可导；F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一点 (a，b)，使得 F()=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设两边求二重积分，则【试题解析】 这是一道综合题目，表面看来很复杂，但只要分析清楚了并不难首先可以知道积分两边再求二重积
17、分就可解决了【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 I 1I 2= p(x)p(y)g(y)f(x)f(y)dxdy，由于 D 关于直线 y=x 对称，所以 I1I 2 又可以写成 I1I 2= p(x)p(y)g(x)f(y)f(x)dxdy ，所以 2(I1I 2)= p(x)p(y)g(y)g(x)f(x)f(y)dxdy 因 g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x)f(y)g(x)g(y)0，又 p(x)在a，b上非负连续，从而知 I1I 20，即 I1I2【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 (第二型化第一型) 球面：x 2+y2+z2=1 的外侧单位法向量为
18、n0=(x，y，z)，将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，得【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 (1)显然，收敛，则由比较审敛法知，收敛(2)因 收敛，则由比较审敛法知， 收敛(3)【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 这是交错级数，但不易判别u nu n1 ，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项为 的级数的敛散性，需使用泰勒公式由泰勒公式， 由于条件收敛，故原级数发散【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 令 u=x2，于是 x=u+2，成立的范围是 且u1，即u1从而知即有 1x3又因当x=3 时，上述级数发散，当 x=1 时，上述级数收敛，且当 x=1 时，f(x)连续，故知收敛范围为 1x3【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 上式中，当 时，取负号，其中 C1，C 2 为任意常数上式中，当 时，取负号，其中C1，C 3为任意常数【知识模块】 常微分方程
