1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 281 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 则 ( )（A）f(0)=0 且 f (0)存在（B） f(0)=1 且 f (0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在2 若非零向量 a，b 满足关系式 ab=a+b ，则必有 ( )（A）ab=a+b（B） a=b（C） a.b=0（D）ab=03 设 c=a+b，a ，b 为非零向量，且 a 与 b 不平行若这些向量起点相同，且a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（A）0（B）
2、 0（C） +=1（D） 2+2=14 以下 4 个平面方程：7x+5y+2z+10=0，7y5y+2z10=0， 7xy+14z+26=0， x7y+14z26=0，是平面 x+2y2z+6=0 和平面 4xy+8z8=0 的交角的平分面方程的是 ( )（A）（B） （C） （D）5 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上6 设是曲面 被平面 z
3、=1 割下的有限部分，则曲面积分的值为( )7 下列命题中正确的是 ( )（A）若 unv n(n=1，2，3，)，则（B）若 unv n(n=1，2，3，)， 收敛（C）若 收敛（D）若 n unv n(n=1，2，3，)， 收敛8 方程 y(4)2y 3y=e 3x 2e x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（A）axe 3x +bxex +cx3（B） ae3x +bxex +cx+d（C） ae3x +bxex +cx3+dx2（D）axe 3x +bex +cx3+dx二、填空题9 设 则 y= _10 函数 F(x)=1x(1 一 )dt(x0)的递减区间
4、为_11 =_12 二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式( 不要求写余项)为_13 微分方程 ydxxdy=x 2ydy 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求极限15 设 f(x)是三次多项式，且有16 设函数 f(y)的反函数 f 1(x)及 ff1 (x)与 ff1 (x)都存在，且 ff1 (x)0证明：17 设 求 y(n)(n1)18 设 f(x)在闭区间一 1， 1上具有三阶连续导数，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在一 1，1内存在 ，使得 f()=319 (1)证明如下所述的 型洛必达(
5、LHospital)法则：设存在 x0 的某去心邻域时，f(x)与 g(x)都存在，且 g(x)0；(只要求对于 xx 0+的情形给出证明)；(2)请举例说明：若条件不成立，但 仍可以存在20 求不定积分21 对于实数 x0，定义对数函数 依此定义试证：(1)(2)ln(xy)=lnx+lny(x0，y0)22 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()23 求二重积分 直线 y=2，y=x 所围成的平面区域24 证明： 01dx01(xy)xydy=01xxdx25 已知：z=z(x，y)，(x，y)D，求证：26 设平面区域
6、D=(x，y)x+y1)，求27 判别级势 的敛散性28 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：29 求(x+2)y+xy 2=y的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 281 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，且 所以 f(0)=0从而有【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 ab 2=(ab).(ab)= a 2+ b 22a.b， a+b 2=(a+b).(a+b)=a 2+b 2+2a.b， 从 ab= a+b即知2a.b=2a.b
7、，4a.b=0 ，所以 a.b=0 或者由向量加减运算的几何意义，ab 与 a+b 分别表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的丽对角线长度相等时，必是矩形即知 ab，a.b=0应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 依题意，a+bb 与 a+ba 平行，从而有(a+bb)(a+ba)=0，即 a,b+baba ba+ba=0因为 ab=ba，所以从上式可得(+)ba=ba又 a 与 b 不平行， ab0，故得 +=1应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为所求平面上
8、的任一点，根据题意， M 到两个已知平面的距离相等，所以 即 3 x+2y 2z+6=4xy+8z8，因此 3x+6y 6z+18=(4xy+8z8)，故所求平面的方程是 x7y+14z26=0 或 7x+5y+2z+10=0故选择 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 B【试题解析】 令 由于 B2AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以 D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题
9、解析】 设 1 为在第一卦限部分的曲面，1： Dxy=(x，y)x 2+y21，x0，Y0，用极坐标表示为所以 因为关于 yOz 面，zOx面对称，函数yz 关于变量 x 或 y 都为偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 nu nv n，所以 0u n nv n n又因为收敛因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选 A，选项 B，C将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数可以说明 B 不对，取级数就可以说明 C 不对，故选 D【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r22r3)=0，特征根为 r1=
10、3，r 2=1，r 3=r4=0，对于f1(x)=e3x ， 1=3 非特征根， y1*=ae3x ；对于 f2(x)=2e x ， 2=1 是特征根，y2*=bxex ；对于 f3(x)=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解 y*=y1*+y2*+y3*=ae3x +bxex +cx3+dx2【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 用求导法则计算得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ln2(tanx
11、)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由题知 f(e，0)=1，f x(x，y)=yx y1 ，f x(e，0)=0 ，f y(x，y)=xylnx，f y(e，0)=1，f xx(x，y)=y(y1)x y2 ，f xx(e，0)=0，f xy(x，y)=xy1 +yxy1 lnx，f xy(e，0)=e 1 ， f yy(x，y)=x y(lnx)2，f yy(e，0)=1 因此 f(x，y)在点(e，0)处展开的二阶泰勒公式为 f(x，y)=f(e，0)+(xe)f x(e，0)+(y 0)f y(e，0)+ (xe) 2
12、fxx(e，0)+ 2(xe)(y 0)f xy(e，0)+(y0) 2fyy(e，0)+R 3略去 R3，得如上所填【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 将方程改写为 此为全微分方程，即通解为 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 x0 时，而故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x=2a，x4a 为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x2a)(x4a)(xc)于是【
13、知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 设 x=f(y)，则其反函数为 y=f1 (x)对 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 经计算 A=8，B=1故【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx 0)+ (x0)(xx 0)2+ f()(xx 0)3，取x0=0， x=1 代入，得1(0，1) 取x0=0， x=1 代入，得2(1，0) 得 f(1)f( 1)= f(1)+f(2)=10=1 因为 f(x)在1，1 上连续，则存在 m 和 M，使得 x1,1，mf(x)M ，mf( 1)M，mf
14、( 2)M=m f(1)+f(2)M 代入，有 m3M，由介值定理，存在1 ，1，使得 f()=3【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令在区间x0，x上 F(x)与 G(x)满足柯西中值定理条件，于是有(2)举例： 而却不存在，洛必达法则不成立，原因在于条件不满足【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)(2)令 t=x，则有【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由积分中值定理，得 f(1)=e1 12f(1)， 1 令 F(x)=e1x2 f(x)，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且 F(1
15、)=f(1)=e 1 12f(1)=F(1)由罗尔定理，在 (1，1)内至少有一点 ，使得 F()=e 12 f()2f()=0，于是 f()=2f()，( 1， 1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy,当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则 从而 01dx01(xy)xydy= 01ttlntdt于是也就是要证明 01ttlntdt=01ttdt，移项后就是要证明
16、 01tt(1+lnt)dt=0 事实上， t t(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故 01tt(1+lnt)dt=etlnt 01=0【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 因曲面 z=z(x，y)在任一点(x，y， z)的法线向量为(z x，=z y，1)，故 又 利用两类曲面积分之间的关系，则得到【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 将 D 分成第一、二、三、四象限中的 4 块，分别记为D1，D 2，D 3，D 4，如图 161 4 所示用极坐标，其中先对 D1 进行积分：根据对称性，被积函数关于 x，y 均为
17、偶函数，且积分区域关于 x 轴、y 轴对称，故【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 这是交错级数，易见：u n0，但u nu n1 不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定单调减少，因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数 发散因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散。【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 (1)其中f(x)M ，M 是正常数，所以 绝对收敛(2)由于级数存在【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 两边同除以 P2，化为当 C1 0 时，得 当 C1=0 时，得当 C10 时，得其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程
