1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 282 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( ，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(x)0（C）函数 f(x) 单调增加（D）函数f(x)单调增加2 若 ab，a，b 均为非零向量， x 是非零实数，则有 ( )（A）a+xba+xb（B） axba xb（C） a+xba （D）a 一 xba 3 两张平行平面 1：Ax+By+Cz+D 1=0 与 2：Ax+By+Cz+D 2=0 之间的距离为
2、( )（A）D 1D 2（B） D1+D2（C）（D）4 设 f(x，y)是连续函数，且 则 ( )（A）f(0，0)为 f(x，y) 的极大值（B） f(0，0)为 f(x，y)的极小值（C） f(0，0)不是 f(x，y)的极值（D）不能确定5 下列命题中不正确的是 ( )（A）若 f(u)有连续导数，则 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关（B）若 f(u)连续，则 L(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关（C）若 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，且 则LPdx+Qdy 在区域内与路径无关（D） 在区域 D=(x，y)(x
3、，y)(0，0)上与路径有关6 设 f(x)在区间0，1上连续，且 0f(ax)1，又设( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与具体的 f(x)有关7 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+ex 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y2y+y=e 2x（B） yy 2y=xex（C） yy 2y=ex2xe x（D）y y=e 2x二、填空题8 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cosxy=0 确定，则 = _9 已知 01f(x)dx=1，f(1)=0，则 01xf(x)dx=_10 =_11 已知平行四边形有两对角线向量为 c=a
4、+2b，d=3a4b，其中a=1，b=2，a 与 b 的交角 ，则该平行四边形的面积 S=_12 微分方程 的特解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求极限14 设 试求 ， 的值15 求 y16 设 求 y(n)(0)17 叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理17 设常数(a0，函数 g(x)在区间a，a 上存在二阶导数，且 g(x)018 令 h(x)=g(x)+g(x)，证明在区间0，a上 h(x)0，当且仅当 x=0 时 h(x)=0；19 证明 2aa ag(x)ex2 dxa ag(x)dxa aex2 dx20 求不定积分21 计算 In= 11(x21)
5、 ndx22 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0xf(t)f(2at)dt，证明： F(2a)2F(a)=f 2(a)f(0)f(2a)23 (1)叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 dz x0y0 的定义； (2)证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 dz x0y0 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y； (3)请举例说明(2)的逆定理不成立24 计算 0adx0bemax(b2x2，a2y2) dy，其中 a，b025 设 在 D=a，bc，d
6、上连续，求并证明：I2(Mm)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值26 计算 I= (ax2+by2+cz2)dS，其中x 2+y2+z2=127 计算三重积分 其中 由平面y=1，圆柱面 x2+z2=1 和半球面 围成，如图 162 所示28 证明：级数 条件收敛29 将函数 f(x)=x2(0x)展开成余弦级数，并求 的和30 求微分方程 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 282 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，不论x 大于 0 还是小于 0，对任意的 x 都有故 由于 x
7、的任意性，f( x)0，故 A， B 错误 同时，由题干可知 f(x)单调增加，故 g(x)单调减少，f(x)单调增加，C 错误，选 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 a+xb 2=(n+xb).(a+xb)= a 2+2xa.b+x2b 2 =a 2+x2 b 2a 2， 所以a+xba应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 1 与 2 之间的距离即为平面 1 上一点 M1(x1，y 1，z 1)到 2 的距离因为 M11，故 Ax1+By1+Cz1+D1=0，即Ax1+By1+Cz1=D 1，从而 应选 C【知识模块】 向
8、量代数与空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 记 F(x ，y)=x 3+y23x 23y 2，则有 Fx=3x26x是其中一个驻点又由 A=F xx (0，0)=(6x6) (0，0) =6，B=F xy (0，0) =0，C= yy (0，0) =(6y6)=6，知=B2AC=360，又 A0，故点(0，0)为 F(x，y)的极大值点，且 F(0，0)=0 ，故当 x0，y0 时，分母为负由极限的保号性知，存在 0，当点(x，y)满足时， 故f(0，0)为极大值，选 A【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A，令 P(x，y)=xf(x 2+y2)，Q
9、(x，y)=yf(x 2+y2)，则=2xy.f(x2+y2)， =2xy.f(x2+y2)，其中 f(x2+y2)=f(s) s=x2+y2，得到全平面是单连通区域，故 LPdx+Qdy 在全平面内与路径无关 A 正确对于 B，可求得被积函数的原函数满足 f(x2+y2)(xdx+ydy)= f(x2+y2)d(x2+y2)=d0sf(t)dt s=x2+y2，因而 L(x2+y2)(zdz+ydy)与路径无关B 正确对于 C，因区域 D 不一定是单连通区域，故 C 中积分不一定与路径无关C 不正确对于 D，由于区域 D 不是连通区域，因而积分与路径有关 D 正确【知识模块】 多元函数积分学
10、6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 0f(x)1 且 f(x)连续，所以所以 发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数条件收敛【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1y 2=e2xe x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2ex ，故特征根r1=2，r 2=1对应齐次线性方程为 yy=2y=0。 再由特解 y*=xex 知非齐次项f(x)=y*y *2y *=ex2xe x，于是所求方程为 yy2y=e x2xe x【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，
11、可得【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 -1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 01 01f(x)dx=1【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 5【试题解析】 该平行四边形的面积 s 等于以 c，d 为邻边的平行四边形面积的 由矢量积的几何意义知，【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 【试题解析】 写成 令 y2=ux，有代入原方程，得 解之得 sin u=Cx再以【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
12、3 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 显然由条件知 0，而因此有 +1=0 ，且【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 当 x0时，当 x=0 时，故对任意 x( ，+)，都有又 比较系数，得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 罗尔定理：设函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则至少存在点 (a，b)使 f()=0证明：由于 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a ，b上存在最大值 M 和最小值m
13、如果 M=m，则 f(x)C，从而 f(x)C，任取 (a，b)均有 f()=0如果 Mm，由于 f(a)=f(x)，所以 M 或 m 中至少有个在开区间(a ，b) 内取到，即在(a，b)内 f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)由费马定理知，在对应点x=(a，b) 处，f()=0 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 h(x)=g(x)g( x)，h(0)=0，h(x)=g(x)+g( x) 0，由拉格朗日中值定理，有h(x)=h(0)+h()(x0)=h()x0(x0) 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为当 0xa时 h(x)0
14、，h(x) 单调增加； f(x)=ex2 在 0xa时单调减少，所以不论 0xya还是 0yxa，均有 h(x)h(x)(e x2 e y2 )0，即只要(x， y)D=(x，y)0xa，0ya ，有 h(x)e x2 +h(y)ey2 h(x)ey2 +h(y)ex2 于是有20ady0ah(x)ex2 dx20aey2 dy0ah(x)dx， 2a 0ah(x)ex2 dx20aey2 dy0ah(x)dx又因为h(x)与 ex2 都是偶函数，所以 a a ah(x)ex2 dx a aey2 dya ah(x)dx， (*)再以h(x)=g(x)+g(x)代入，并注意到 a ah(x)d
15、x=a ag(x)+g(x)dx = a ag(x)dx+a ag(x)dx = a ag(x)dx+a ag(u)(du) =2 a ag(x)dx，同理， a ah(x)ex2 dx=2a ag(x)ex2 dx从而式(*)成为 2aa ag(x)ex2 dxa aex2 dxa ag(x)dx证毕【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由分部积分可得 I n=x(x21) n1 12n 1 1x2(x21) n1 dx =一2n 11(x21) ndx2n 1 1(x21) n1 dx =2nI n2nI n1 ，故 递推得【知识模
16、块】 一元函数积分学22 【正确答案】 F(2a) 2F(a)= 02af(t)f(2at)dt2 0af(t)f(2at)dt = a2af(t)f(2at)dt 0af(t)f(2at)dt，其中 a2af(t)f(2at)dt=f 2(a)f(0)f(2a)+ a2af(2ax)f(t)dt，所以原式=f 2(a)f(0)f(2a)+ a2af(2at)f(t)dt 0af(t)f(2at)dt，又 a2af(2at)f(t)dt0af(u)f(2au)du= 0af(t)f(2at)dt，所以 F(2a)2F(a)=f 2(a)f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学23 【正确
17、答案】 (1)定义：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域 U 内有定义，且(x 0+x，y 0+y)U，则增量z=f(x 0+x，y 0+y)f(x 0，y 0) Ax+By+o()，(*)其中 A， B 与x，y 都无关， 则称f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，并称 Ax+By 为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的全微分，记为 dz (x0， y0)=Ax+By(2) 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则(*)式成立，令y=0，于是 证明了fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且 dz (x0，y0) =fx(x0，y 0)x+f
18、y(x0，y 0)y(3)(2)的逆定理不成立，反例fy (0，0)=0 都存在，但在点(0，0)处 f(x，y)不可微【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 =f(x，d)f(x，c) ab=f(b，d)+f(a，c) f(a ，d)+f(b，c)，显而易见，I2(M m)【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 利用对称性，因为【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 因为 关于 xOy 及 yOz 坐标面对称，所以有【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n单调递减，再由知S 2n单调递减有下界，故S 2n收敛，记所以，原级数的部分和数列S 2n收敛，从而级数收敛，所以原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 将 f(x)作偶延拓，得 f(x)=x2(x)，则bn=0，n=1，2，令 x=，由狄利克雷收敛定理，知【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换即得原方程通解为 其中 C 为任意正常数【知识模块】 常微分方程
