1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 f(x)在点 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 ，则在点 x=1 处函数 f(x)（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导且导数连续3 设 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充要条件是4 若 f(x+1)=af(x)总成立，且 f(0)=b(a，b 为非零常数)，则 f(x)在 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）
2、可导且 f(1)=ab5 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)06 设 f(x)在( 一，+)上可导，且对任意的 x1 和 x2，当 x1x 2 时都有 f(x1)f(x 2)，则（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(-x)0 （C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加7 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f
3、(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点8 设 y=f(x)满足 y“+y一 esinx=0，且 f(x0)=0，则 f(x)在（A）x 0 某邻域内单调增加（B） x0 某邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取极大值9 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也
4、不是曲线 y=f(x)的拐点10 曲线 的渐近线有（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条11 若 ，则 为（A）0（B） 6（C） 36（D）二、填空题12 已知 f(x0)=一 1，则 =_.13 设 f(1+x)一 3f(1 一 x)=8x(1+sinx ) ，其中 f(x)连续，则 f(1)=_14 设 f(1)=2，极限 存在，则 =_15 已知 =_16 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 =_17 设 ，其中 f(x)可导且 f(0)0，则 =_.18 =_19 设 f(x)=x(x 一 1)(x 一 2)(x 一 n)，则 f(
5、0)=_，f (n+1)(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知函数 f(x)在(0，+)上可导，f(x) 0，求 f(x)21 设 y=y(x)由 y=tan(x+y)所确定，试求 y，y“22 设函数 y=y(x)由方程 yxey=1 所确定，试求23 设 ，求24 设 y=y(x)由 所确定，求25 设 ，求 f(n)(x)26 设 y=sin4x+cos4x，求 y(n)27 求极限28 求极限29 求极限30 做半径为 R 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 取何值，其体积最小，最小值是多少?31 设 a1， n1，试证32 试证当 0x1 时，33 若
6、 0x1，P 1，试证34 设 p，q 是大于 1 的常数，且 ，证明对于任意的 x0，有35 试证 (x一 1)36 设 a1，a 2，a n 为任意实数，求证方程 a1cosx+a2cos2x+ancosnx=0 在(0 ，)内必有实根37 试证方程 2x 一 x2=1 有且仅有三个实根38 试确定 xe-x=a(a0)的实根个数39 设当 x0 时，方程 有且仅有一个解，试求 k 的取值范围39 设 f(x)在a，b上可导，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(a).f(b)0，试证40 (a，b)，使 f()=041 (a，b)，使 f“()=f()42 设 f(x)在
7、a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(a).f(b)0，试证存在 (a，b) ，(a， b)，使 f()=0，f“()=0 43 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，试证存在 (a，b)，(a，b)，使44 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证存在 (a，b)，(a， b)，使 e-f()+f()=145 设 f(x)在0，1上具有三阶连续导数，且 f(0)=1，f(1)=2， ，证明在(0，1)上至少存在一点 ，使 f()2446 设 f(x)在0，1上有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0， ，证明47 试确定常数
8、 a 与 n 的一组值，使得当 x0 时， 一 lne(1+x2)与 axn 为等价无穷小48 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+2f(1)+3f(2)=6，f(3)=1，试证：必存在 (0，3)，使 f()=0考研数学一（高等数学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【知识模块】
9、高等数学7 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学二、填空题12 【正确答案】 1【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 -2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 3【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (一 1)nn!，(n+1)!【知识模块】
10、 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 2e 2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 h=4R ，V min=【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 利用拉格朗日中值定理【知识
11、模块】 高等数学32 【正确答案】 考虑函数 f(x)=e2x(1 一 x)一(1+x)利用 f(x)的单调性来证明【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 利用最大最小值来证明【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 令 f(x)= ，考虑 f(x)在 x0 处的最小值【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 利用拉格朗日中值定理或利用单调性【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=a1sinx+ + ，对 F(x)在0，上用罗尔定理【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 用连续函数介值定理说明至少有三个实根，用罗尔定理的推论说明最多三个实根【知识模块】 高等数学3
12、8 【正确答案】 令 f(x)=xe-x 一 a，考虑 f(x)的极大值最后结论是当 a 时，无实根；当 a= 时，唯一实根：当 a 时，两个实根【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 令 ，最后结论是： (1)k0 时有且仅有一个解；(2)k0 时，当 有唯一解【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 利用连续函数介值定理；【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 先对辅助函数 (x)=exf(x)用罗尔定理，再对辅助函数 F(x)=e-xf(x)+f(x)用罗尔定理【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0，则在 a 点右半邻域存在点
13、x1，使 f(x1)f(a)=0 在 b 点的左半邻域存在点 x2使 f(x2)f(b)=0 由连续函数介值定理知存在 (a，b) 使 f()=0，利用 f(a)=f()=f(b)=0，连续用两次罗尔定理便可证明本题【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知存在 (a，b)使 由柯希中值定理知，存在 (a，b)，使【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 对 F(x)=exf(x)和 (x)=ex 分别在a，b上用拉格朗日中值定理【知识模块】 高等数学45 【正确答案】 先写出 f(x)在 点处的三阶泰勒公式，然后分别令 x=0 和x=1【知识模块】 高等数学46 【正确答案】 由 =一 1，f(0)=f(1)=0 知，存在 c(0，1)使 f(c)=一 1且f(c)=0，然后写出 f(x)在 x=c 处的二阶泰勒公式，分别令 x=0 和 x=1【知识模块】 高等数学47 【正确答案】 a=1，n=4(利用泰勒公式)【知识模块】 高等数学48 【正确答案】 先利用连续函数介值定理证明存在 c0，2，使 f(c)=1，然后在区间c，3上对 f(x)用罗尔定理【知识模块】 高等数学
