1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 ab=ac，则（A）b=c （B） ab 且 ac（C） a=0 或 b 一 c=0（D）a(b 一 c)2 设 c=(ba)-b，则（A）a 垂直于 b+c（B） a 平行于 b+c（C） b 垂直于 c（D）b 平行于 c3 若直线 相交，则必有4 通过直线 x=2t 一 1，y=3t+2，z=2t 一 3 和直线 x=2t+3，y=3t 一 1，z=2t+1 的平面方程为（A）xz 2=0（B） x+z=0（C） x 一 2y+z=0（D）x+y+z=15 原点(0 ，
2、0，0) 关于平面 6x+2y 一 9z+121=0 对称的点为（A）(12 ，8，3) （B） (一 4，1，3)（C） (2，4，8)（D）(一 12，一 4，18) 6 设 ，则 f(0，0)点处（A）不连续（B）偏导数不存在（C）偏导数存在但不可微（D）偏导数存在且可微7 若二元函数 f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，则在(x 0，y 0)点下列结论中不一定成立的是（A）连续（B）偏导数存在（C）偏导数连续（D）切平面存在8 函数 在(0，0)点处（A）不连续（B）偏导数存在（C）任一方向的方向导数存在（D）可微9 设 fx(0，0)=1，f y(0，0)=2，则（A）f(x，y
3、)在(0，0)点连续（B）（C） =cos+2cos，其中 cos，cos 为 l 的方向余弦（D）f(x，y)在(0，0)点沿 x 轴负方向的方向导数为一 110 函数 f(x， y)=x2y3 在点(2，1)沿方向 l=i+j 的方向导数为（A）16（B）（C） 28（D）二、填空题11 已知 a，b ，c 是单位向量，且满足 a+b+c=0，则 ab+bc+ca=_12 已知a =2，b= ，且 ab=2，则ab =_13 过点(一 1，2，3) ，垂直于直线 且平行于平面 7x+8y+9z+10=0 的直线方程是_14 若向量 x 与向量 a=2ij+2k 共线，且满足方程 ax=一
4、8，则向量x=_15 平行于平面 5x 一 14y+2z+36=0 且与此平面距离为 3 的平面方程为_16 设 ，f(u)可导，则 =_17 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 z+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_18 设 f(x，y)=x y，则 =_19 设 =_20 设 z=z(x，y)由方程 xmz=(ynz)所确定(其中 m，n 为常数， 为可微函数)，则 =_21 函数 u=xy+yz+xz 在点 P(1，2，3)处沿 P 点向径方向的方向导数为_22 函数 z=2x2+y2 在点(1，1)处的梯度为_23 曲面 3x2+
5、y2 一 z2=27 在点(3，1，1)处的切平面方程为_24 曲线 的平行于平面 x+3y+2z=0 的切线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 已知a =4，b=2，ab= ，求向量 a 与 b 的夹角26 求通过 z 轴且与平面 2x+y 一 一 7=0 的夹角为 的平面方程27 求过点(1 ，2，3) ，与 y 轴相交，且与直线 x=y=z 垂直的直线方程28 求过点(2 ，一 1，5) ，且与直线 平行，与平面 2xy+z=1 垂直的平面方程29 试写出 oyz 面上的双曲线 分别绕 z 轴和 y 轴旋转而产生的旋转面的方程30 设 z=x3cos(1 一
6、y)+ ，求 zx(x， 1)，z x(1，1)，z y(1，1)31 求曲线 在点 处的切线与 y 轴的夹角31 设函数 f(x，y)=xyg(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续试问32 g(0， 0)为何值时，偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)都存在?33 g(0，0) 为何值时， f(x，y)在点(0，0)处的全微分存在?34 设 u=f(x2+y2+z2)，其中 f 具有二阶连续导数，求35 设 z=f(2x+y，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求36 设 z= ，其中 f 具有二阶连续导数，求37 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，f(1 ，1
7、)=1，f 1(1，1)=a，f 2(1，1)=b，又F(x)=f(x，f(x，x) ，求 F(1)，F(1)38 设 ex+ysin(x+z)=0，试求39 设 x2+y2+z2=4z，求40 求由方程 2xz 一 2xyz+ln(xyz)=0 所确定的函数 z=z(x，y)的全微分41 设 u，v 是 x，y 的函数，且 ，求42 求函数 在点 P(一 1，3，一 3)处的梯度以及沿曲线 x=一t2，y=3t 2，z=-3t 2 在点 P 参数增大的切线方向的方向导数43 求曲面 x2+y2+z2=x 的切平面，使它垂直于平面 xy 一 z=0 和44 求曲线 在点 处的切线方程和法平面方
8、程45 求函数 z=3axyx3 一 y3 (a0)的极值46 求函数 z=x3+y3 一 3xy 在 0x2，一 1y2 上的最大值和最小值47 在椭球体 的内接长方体中，求体积最大的长方体的体积48 当 x0，y0，z 0 时，求 u(x，y，z)=lnx+lny+31nz 在球面 x2+y2+z2=5R2 上的最大值，并证明 (其中 a 0，b0，c 0)49 设 f(x，y)是 R2 上一个可微函数，且 ，其中， 为常数试证明 f(x，y) 在 R2 上有最小值50 若对任意 t0，有 f(tx，ty)=t“(x ，y)，则称函数 f(x，y)是 n 次齐次函数试证：若 f(x，y)可
9、微，则 f(x，y)是 n 次齐次函数的充要条件是考研数学一（高等数学）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学二、填空题11 【
10、正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 2 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 一 4i+2j-4k【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 5x 一 14y+2z+81=0 或 5x 一 14y+2z 一 9=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 z 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 x y-1+yxy-1lnx 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 dx-dy 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 1 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等
11、数学22 【正确答案】 4i+2j【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 9x+y-z-27=0 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 x+3y=0 或 3xy=0 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 x+7y+5z 一 20=0 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 3x 2，3,sin1 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模
12、块】 高等数学32 【正确答案】 g(0，0)=0【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 g(0，0)=0 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 2f+4y 2f“【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 2f 11“+(2x+y)f12“+f2+xyf22“ 【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 f(x+y)+yf“(xy)+yf“(x+y)【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 F(1)=1， F(1)=a+ab+b2 【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 【知识模块】 高等数学41 【正确
13、答案】 【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 【知识模块】 高等数学45 【正确答案】 在(a，a)点取极大值 a3。【知识模块】 高等数学46 【正确答案】 Z max(2，-1)=13，Z min(1，1)=Z min(0，-1)=-1 【知识模块】 高等数学47 【正确答案】 【知识模块】 高等数学48 【正确答案】 先利用拉格朗日乘数法求得 u(x，y，z)在球面 x2+y2+z2=5R2 上的最大值为 即我们已证明了在 x2+y2+z2=5R2 条件下，ln(xyz 3)即 令 ，整理便可得【知识模块】 高等数学49 【正确答案】 【知识模块】 高等数学50 【正确答案】 必要性：等式 f(tx，ty)=t nf(x，y)两端对 t 求导得 xf 1(tx，ty)+yf2(tx，ty)=nt n-1f(x，y) 令 t=1 得 充分性：令 F(t)=f(tx，ty) (t0)则 从而 F(t)=CtnF(1)=C=f(x，y)【知识模块】 高等数学
