1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)=f(0)（D）f(0)=一 f(0)2 设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=( )3 设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件4 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数
2、，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 设 f(x)连续，且 =一 2，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值6 设 f(x)二阶连续可导，且 =2，则( )（A）x=1 为 f(x)的极大点（B） x=1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)为 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点7 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 =一 1
3、，则( ) （A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题8 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_9 设 f(x)为偶函数，且 f(1)=2，则 =_10 设 f(x)在 x=a 处可导，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)=g(a+bx)一 g(abx)，其中 g(a)存在，求 f(0)。12 设 f(x)=x 一 ag(x) ，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性13
4、设 y= ，求 y14 求下列函数的导数：(1) (3)y=x(sinx)cosx15 设 y= ，求 y16 设 y= ，求 y17 (1)由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由2xy=x+y，确定，求 dy x=0 (3)设 y=y(x)由 In(x2+y)=x3y+sinx 确定，求 (4)设由 ey+x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0) (5)设 y=y(x)由18 设 f(x)可导且 f(0)0，且 19 设 y=ln(2+3x)，求 dy x=020 设 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0
5、 确定，求 y“(0)21 设 f(x)= ，求 f(n)(x)22 设 y=x2lnx，求 y(n)23 求 xf(xt)dt24 设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)25 求 y=f(x)= 的渐近线26 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (，+) 有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求f(x)27 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性考研数学一（高等数学）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)=f(0)
6、，因为 F(x)在 x=0 处可导，所以 F(0)=F+(0)，于是 f(0)=0，故应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=f(lnx)(lnx)一 ，应选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(1)=f+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=1 处可导，因为 f(1)=f+(1)=0，所以 g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f+(0)=f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，应选(D)【知
7、识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由= =一 2 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当0|x| 时， 0，即 f(x)1=f(0)， 故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(D) 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 当 x(1 一 ， 1)时，f“(x) 0；当 x(1，1+)时，f“(x)0，则(0，f(0)为曲线y=f(x)的拐点，应选 (C) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 因为注意到 x3=o(x)，所以当 0|x| 时，f“(x) 0，从而 f(x)在(一 ，)内单调递减，再由 f(0)=0 得 故 x=0 为
8、 f(x)的极大点，应选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=2，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，=2f(a)sf(a)=10f(a)f(a)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 当 g(a)=0 时，由 f(a)=f+(a)=0 得
9、f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=0；当 g(a)0 时，由 f(a)f+(a)得 f(x)在 x=a 处不可导【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1)x=0 代入 sin(xy)+ln(yx)=x 得 y=1，(4)x=0 时， y=0e y+x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得一 eyy+yx+x(y一 1)=1，则y(0)=一 1；一 eyy+yx+x(y一 1)=1 两边关于 x 求导得 ey(y)2
10、一 eyy“+2(y一 1)+xy“=0，代入得 y“(0)=一 3(5)x=0 时，y=1 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将 x=0 代入得 y=0，将x=0，y=0，y(0)=0 代入得 y“(0)=一 2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 y (n)=Cn0x(lnx)(n)+Cn12x(lnx) (n1)+Cn22(lnx) n2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 f(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x一 99)得 f(0)=(一 1)2( 一 3)100=100! 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 得 y=x+3为斜渐近线【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 当 x=y0 时，f(0)=2f(0) ，于是 f(0)=0 对任意的 x(一，+) ，则 f(x)=x2+x+C，因为 f(0)=0，所以 C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 f(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学
