1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 =1，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )3 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一
2、x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)4 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点5 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=36 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切
3、线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=一 1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 1二、填空题7 设曲线 y=lnx 与 y= 相切，则公共切线为_8 设 L： ，则 t=0 对应的曲线上点处的法线为_9 01sin2xtdt=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值11 求函数 y= 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线12 证明：当 0x1 时， 13 证明：当 0x1 时，e 2x 14 当 0x sinxx15 求 f(x)=01xtdt 在0，1
4、上的最大值与最小值16 证明方程 lnx= 在(0，+) 内有且仅有两个根17 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点18 设 f(x)= ，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线19 证明：当 x0 时， 20 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根21 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=一 f()cot22 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得
5、 f()+f()g()=023 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=02f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1)1， 2(0，3)，使得 f(1)=f(2)=0 (2) 存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=024 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明： (1)存在 (1，2)，使得 。 (2)存在(1，2) ，使得 12f(t)dt=( 一 1)f()ln225 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数考研数学一（高等数学）模拟试卷 44 答案与解析
6、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f“(x0)0，所以存在 0，当 0|xx 0| 时，0，从而当 x(x0 一 ，x 0)时，f“(x)0， 当 x(x0，x 0+)时，f“(x)0，即(x 0，f(
7、x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2，所以解得 a=0，b= 一 3，选(C) 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a， 2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y= 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以，应选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 t=0 对应的曲线上点
8、为(0，0)，故法线方程为 y 一 0=一2(x0)，即 y=一 2x【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由 y= =0 得 x=一 1、x=0 当 x一 1 时，y 0；当一 1x0 时，y 0；当 x0 时，y 0， y= 的单调增区间为(一 ，一 1(0，+)，单调减区间为一1，0， 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=xsinx，f(
9、0)=0 ，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 f(x)= 01|x 一 t|dt=0x(xt)dt+x1(t 一 x)dt【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 f(x) 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为f“(x)=一 ，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时， f“(x)0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0 ，0) 为 y=f(x)的拐点 因为 f(x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数由为曲线y=f(x)的两条水平渐近线【知
10、识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=f()cos【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(
11、x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(t)dt，F(x)=f(x)， 02(t)dt=F(2)一 F(0)=F(c)(2 一 0)=2f(c)，其中 0c 2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值m 和最大值 M， m M， 由介值定理，存在 x02，3 ，使得 f(x0)=，即 f(2)+f(3)=2f(x0)， 于是 f(0)=f(c)=f(x0)， 由罗尔定理，存在1(0， c) (0，3) ，使得 f(1)=f(2)=0 (2)令 (x)=e2xf(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理
12、，存在 (1， 2) (0，3)，使得 ()=0， 而(x)=e2xf“(x)一 2f(x)且 e2x0，故 f“()2f()=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)令 h(x)=lnx，F(x)= 1xf(t)dt，且 F(x)=f(x)0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()f(1)=f()( 一 1)，其中 1， 故 12f(t)dt=( 一1)f()ln2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)旦 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式，得 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)+ (xx0)2，其中 介于 x0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，“=”成立当且仅当 “x=x0”，由凹函数的定义，f(x)在(a ，b)内为凹函数【知识模块】 高等数学
