1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx12x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx2 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( )。二、填空题3 设 f(x)C1，+)，广义积分 1+f(x)如收敛
2、，且满足 f(x)= f(x)dx，则f(x)=_4 设 f(x)= =_5 设 f(x)二阶连续可导，且 y(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 01xf“(2x)dx=_。6 设 f(x)= 则 15f(x1)dx=_7 =_(其中 a 为常数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)C，且 f(x)= +f(x)sinxdx，求 f(x)9 设 f(x)=1x dt，求 01x2f(x)dx10 求11 求12 13 设 f(2)= ，f(2)=0 ， 02f(x)dx=1，求 01x2(2x)dx14 设 f(x)= 15 设 y=arctan(x 一
3、1)2， y(0)=0，求 01y(x)dx16 设 f(t)=12 dx，求 01t2f(t)dt17 求 013x2arcsinxdx18 求函数 f(x)= (2 一 t)etdt 的最大值与最小值19 求20 计算 21 11(2+sinx) )dx22 计算 23 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx=bf(x)dx24 设 f(x)为连续函数，证明： 25 证明： 26 设 f(x)连续，证明： 0x0tf(u)dudt=0xf(t)(x 一 t)dt27 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时， f(x)一 f(y)a
4、rctanx arctany，又 f(1)=0，证明： 01f(x)dx ln228 设 f(a)=f(b)=0， abf2(x)dx=1，f(x)Ca ，b (1)求 abxf(x)f(x)dx； (2)证明：abf2(x)dxabx2f2(x)dx 29 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)=2 x2f(x)dx证明：存在 (0，1)，使得 2f()+f()=0考研数学一（高等数学）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，
5、x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有 A=4 cos2d，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 e 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可 因为 f(+)=f()=0+(2 一 t)etdt
7、=1 及 f(0)=0，所以最小值为 0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 g(x)=axf(x)dtxbf(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=一 abf(t)dt0， g(b)= abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 af(x)dx=bf(x)dx【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)令 I=0x
8、f(sinx)dx，则 I= 0xf(sinx)dx 0(dt)f(sint)(dt)=0(t)f(sint)dt =0( 一 x)f(sinx)dx=0f(sinx)dx 一 0xf(sinx)dx =0f(sinx)dxI， 则 I=0xf(sinx)dx= f(sinx)dx (2) 02f(|sinx|)dx=f(|sinx|)dx=20f(|sinx|)dx =20f(sinx)dx=4 f(sinx)dx (3)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)=f(x)，于是 0x0tf(u)dudt=
9、0xF(t)dt， 0xf(t)(xt)dt=x0xf(t)dt 一 0xtf(t)dt=xF(x)一 0xtdF(t) =xF(x)一 tF(t)|0x+0xF(t)dt=0xF(t)dt 命题得证【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)=，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块】 高等数学
