1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x) 及直线 X 一口，X 一 6 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abm 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx2 矩形闸门宽口米，高 h 米，垂
2、直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（A）g 0hah dh（B） g0aah dh（C） g0h ah dh（D）2g 0hah dh3 在曲线 y=(x 一 1)2 上的点 (2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )二、填空题4 0+e7 dx=_。5 1+ =_6 e+ =_7 曲线 y=x4 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a， b)，使得 f() bg(x)dx=g()
3、af(x)dx9 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=010 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f(x)2证明： 02f(x)dx211 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 abf(x)dx=(ba)f f“()12 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c ，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0，
4、1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 c 是唯一的13 求曲线 y=cosx(一 )与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积14 设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S1(t)；由 y=sint、L 及 x= (1)t 取何值时， S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值? (2)t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最大值?15 设 f(x)=1x(1 一t)dt(x1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积16 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任
5、意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= x，求曲线 C2 的方程17 设曲线 y=a+xx2，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a18 求曲线 y=x22x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V19 设平面图形 D 由 x2+y22x与 yx围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积20 设 L：y=e x(x0) (1)求由
6、 y=ex、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 z轴旋转一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= ，求 c21 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积22 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积23 求摆线 L： (a0)的第一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积24 设曲线 (0a4) 与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为
7、何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值25 设一抛物线 y=ax2+bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小26 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为D2(1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；(2)求求此时的 D1+D227 求摆线 (0t2)的长度。28 设曲线 y= ，过原点作切线，求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的表面积29 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶
8、部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功考研数学一（高等数学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b， dv=m g(x)2 一 mf(x)2dx=2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx， 则 V=abdv=ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 取x，x+dx 0，h，dF=gxadx=gaxdx， 则F=g0haxdx=gahdh，选(A) 【知识模块
9、】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x 一 1)2 上点(2，1)的法线方程为 y=一 x+2，该法线与 x轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V=12(x 一 1)4dx+ ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】
10、 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt，所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0 设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)
11、且 xx1 时，有 sin(xx1)f(x)恒正或恒负，于是 0sin(xx1)f(x)dx0 而 0sin(xx1)f(x)dx=cosx0f(x)sinxdxsinxl 0f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在 (0，)内至少有两个零点不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，7c) 且x1x 2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(0)=f( 1)x，其中 0 1x，f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2)，其中 x 22，于是 从而| 02f(x)dx|02
12、|f(x)|dx=01|f(x)|dx+12|f(x)|dx 012xdx+122(2 一 x)dx=2【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 x0= ，由泰勒公式得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (1)S 1(c)=cf(c)，S 2(c)=c1f(t)dt=一 1cf(t)dt，即证明 S1(c)=S2(c)，或cf(c)+1cf(t)dt=0令 (x)=x1xf(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 f(0，1)，使得 (c)=0，即 cf(f)+1cf(t)dt=0，所以 S1(c)=S2(
13、c)，命题得证 (2)令 h(x)=xf(x)一x1f(t)dt，因为 h(x)=f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)中的c 是唯一的【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 S 1(t)=tsint0tsinxdx=tsint+cost1，(2)当 t=0 时，S(t)最大，且最大值为 S(0)=1【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当一 1x0 时，f(x)= 1x(1 一|t|)dt= 1x(t+1)dt【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 设曲线 y=a+xx
14、 与 x3 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得 一 0(a+xx)dx=(a+xx3)dx，移项得 0(a+x 一 x3)dx+(a+xx3)dx=0(a+xx3)dx=0(4a+2 一 3)=0， 因为 0，所以 4a+2一 3=0 又因为(， 0)为曲线 y=a+xx3 与 x 轴的交点，所以有 +一 3=0，从而有 =一 3aa一 3a+27a3=0a=一 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 取x，x+x 2，2，则 dV=2(3x)(4 一 x2
15、)dx， V=dV=2 22 (3 一 x)(4 一 x3)dx=622 (4 一 x3)dx =1222 (4 一 x3)dx=12 =64【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(x 一 a)，即y=2ax 一 a2，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4一 a曲线可化为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0，一 ，所以 令 S(a)=0，得 a=一 4，从而b=6，所以当 a=一 4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由 于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2Rx)R2 一(Rx) 21gdx=x(2Rx)2gdx， W= 02Rdw= 【知识模块】 高等数学
