1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在2 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在3 f(x，y)=arctan 在(0
2、 ，1)处的梯度为( )（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j二、填空题4 设 z=f(x2+y2+z2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 =_5 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_6 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= =_7 设 y=y(x)由 =_8 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为 dz=_9 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_10 曲线 L： 绕 y 轴一周所得旋转曲面在点 (0，1，2)处指向
3、外侧的单位法向量为_11 曲面 z=1 一 z2 一 y2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为_12 设 f(x，y)可微。且 f1(一 1，3)=一 2，f 2(一 1，3)=1，令 z=f(2xy， )，则dz (1， 3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 z=fx+(xy)，y ，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 14 设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： 15 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数
4、证明： xg(z) 16 设 z=f(x，y)由方程 z 一 yz+zezyx=0 确定，求 dz17 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 与 ez 一xz=0 确定，求 18 设 f(x+y， xy)=x2y2+ 19 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求 20 设 =z 一 xy。21 设变换 ，求常数a。22 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值23 试求 z=f(x，y)=x 3+y3 一
5、3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值24 求 u=x2+y2+z2 在 =1 上的最小值。考研数学一（高等数学）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y) 在 y=y0 处导数为零，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 T=1，一 2t，3t 2，平面的法向量为 n=1，2，1，令 14t+3t2=0，解得 t=1，t=
6、 ，故曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面x+2y+z 一 4=0 平行的切线有两条，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，得 gradf|(0，1)=1，0=i，选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x 2+y2+z2，xyz) 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 e 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9
7、 【正确答案】 1【试题解析】 解得 f(0，1，一 1)=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L： 绕 y 轴一周所得的旋转曲面为4x2+9y2+4z2=25，n=8x ，18y，8z (0，1，2) =0，一 18，16，所求的单位法向量为e= 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 ：2x+2y2z+3=0【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0，1 一 x0 一 y0)，则 n=2x0，2y 0，1(1，1，一 1，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 7dx+3dy【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
8、。13 【正确答案】 z=fx+(xy)，y两边关于 y 求偏导得 =一 f1 1+f2， =一(一 f“11+f“12)+f1“一 f“21+f“22=f“11()22f“12+f1“+f“22【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 对 zyx+xezyx=0 两边求微分，得 dzdy 一 dy+ezyx+xezyx(dzdydx)=0，解得 dz= +dy【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块
9、】 高等数学19 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，t，t)=0 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0 ，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 当(x，y)为区域 D 内时，由=一 1；在 L1：y=一 1(0x2)上，z=x 3+3x一 1，因为 z=3x2+30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13；在L2：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8，由 z=3x2 一 6=0 得 x=，z(2)=4；在 L3：x=0(一 1y2)上，z=y 3，由z=3y2=0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8；在 L4：x=2(一 1y2)上，z=y 3 一6y+8，由 z=3y2 一 6=0 得 y= ，z(2)=4，故z=x2+y2 一 3xy 在 D 上的最小值为一 1，最大值为 13【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
