1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x+y0)为某函数的全微分，则 a 为( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）22 设 L 为由 y2=x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则 等于( )（A）一 2（B） 2（C） （D）0二、填空题3 设 I= dx+xdy，其中 L 是椭圆 4x2+y2=1，L 为逆时针方向，则I=_4 设曲线 L：y= (一 1x1)，则 L(x2+2xy)ds=_5 (x2+2xy+y3)ds=_，其中 L：x 2+y2=46 设 L： =1，且 L 的长度为
2、 l，则 L(9x2+72xy+4y2)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 计算 L(x2+y2)ds，其中 L：x 2+y2=a28 Le ds，其中 L 为由 x 轴，x 2+y2=4 及 y=x 所围成的第一封限内的区域的边界9 计算 Lxdy 一 (2y+1)dx，其中 (1)L 从原点经过直线 y=x 到点(2，2)； (2)L 从原点经过抛物线 y= 到点(2，2) 10 计算 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中 (1)L 从原点沿直线 y=x 到点(1，1)； (2)L 从原点沿抛物线 y=x 到点(1，1) 11 计算 L(3x+2y+1)
3、dx+ ，其中 L 为 x2+y2=4 第一象限逆时针方向部分12 利用格林公式计算 L(exsiny+xy)dx+(excosy+y)dy，其中 L 是圆周y= (a0)上从点 A(2a，0)到点 O(0，0)的弧段13 求 I= ，其中 L 为 x2+y2=a2 上从点 A(a，0)沿逆时针方向到点 B(一 a，0)的有向曲线段，其中 a014 计算 I=L(ex+1)cosydx(ex+x)siny 一 xdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段15 在过点 O(0，0) 和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该
4、曲线从点 O 到 A 的积分 I=L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小16 设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的 t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)17 设曲线积分 Lxy2dx+y(x)dy 与路径无关，其中 连续可导，且 (0)=0，计算，(0，0) (1，1) xy2dx+y(x)dy18 计算曲线积分 ，其中 L 为不经过原点的逆时针光滑闭曲线19 计算 ，其中 L 为 x2+y2=1 从点 A(1，0
5、) 经过 B(0，1)到 C(1，0)的曲线段20 计算 I= 在第一卦限的部分21 计算 位于 z=2 下方的部分22 求 I= 所截的顶部23 计算 I= 介于 z=0 与 z=1 之间的部分24 计算 (x+y2)ds，其中 S：x 2+y2+z2=2z25 设： =1(z0)，点 P(x，y，z) ， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y ，z) 为点 0(0，0，0)到平面 的距离，计算 考研数学一（高等数学）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P(x ，y)= 得 a=2，选(D) 【知识模块】
6、 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 取 Cr：x 2+y2=r2(其中 r0，C r 在 L 内，取逆时针)，设由 L 及 Cr所围成的区域为 Dr，由 Cr 围成的区域为 D0，由格林公式得【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 8【试题解析】 根据对称性和奇偶性得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 36l【试题解析】 由对称性 L(9x2+72xy+4y2)ds=L(9x2+4y2)dx，于是原式=36 L()ds=36Ldx=36l【知识模块】 高等数学三、解
7、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 根据对称性， L(x3+y2)ds=Ly2ds=Lx2ds，则 L(x3+y2)dx=2a=a3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (1) Lxdy 一(2y+1)dx= 02xdx 一(2x+1)dx=一 02(x+1)dx=一 4 (2)Lxdy一(2y+1)dx= 02xdxd 一(x 2+1)dx=一 2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 (1) L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x+x)dx+(x+x)dx =01(2x+2x)dx= (2)L(xy2+y)d
8、x+(x2y+x)dy=J(x4+x2)dx+(x4+x)2xdx =01(3x5+3x2)dx=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 I= L(exsiny+xy)dx+(excosy+y)dy 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 取 L0：y=0(起点 x=一 a，终点 x=a)，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 L1：y=0(起点 x=0，终点 x=2)，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 I=I(a)= 0(1+a3sin3x)+(2x+asinx)acosxdx= 一 4a+ 由 I(a)=4(a2 一 1)=0
9、，得 a=1， I“(a)=8a，由 I“(1)=80 得 a=1 为 I(a)的极小值点， 因为a=1 是 I(a)的唯一驻点，所以 a=1 为 I(a)的最小值点，所求的曲线为 y=sinx【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以 =2x，于是Q(x，y)=x 2+(y) 由 (0，0) (t，1) +Q(x，y)dy= (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy，得 t 2+01(y)dy=t+0t(y)dy，两边对 t 求导数得 1+(t)=2t，(t)=2t 一 1， 所以 Q(x，y)=x 2+2y一 1【知识模块】 高等数学17 【正确答案
10、】 令 P(x，y)=xy 2，Q(x ，y)=y(x) ， 因为曲线积分与路径无关，所以有 ，即 (x)=2x， 故 (x)=x2+C，因为 (0)=0，所以 (x)=x2 (0，0) (t，1)xy2dx+y(x)dy=(0，0) (t，1) xy2dx+x2ydy=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (2)当 0(0，0)在 L 所围成的区域内部时，作 Cr：x 2+4y2=r2(其中 r0，C 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 Cr所围成的区域为 Dr，由格林公式【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 P(x，y)= ，作上半椭圆 C0：x 2+4y2=1，方向取逆时针， L 与 C0围成的区域为 D1，C 0 与 x 轴围成的区域为 D2，由格林公式得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 曲面在 xOy 平面上的投影区域为 Dxy：x 2+y24，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
