1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex，则该微分方程为( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“+2y“一 y一 2y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=02 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一
2、2(x)+C2(x)3 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）一 ln3（B） ln3（C）一 ln3（D） ln3二、填空题4 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_5 设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)exy 满足 =0，则 (u)= _。6 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且 y= x+，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_7 的通解为_8 连续函数 f(x)满足 f(x)=30xf(x 一 t)dt+2，则 f(x
3、)=_9 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求微分方程 xy=yln 的通解11 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解12 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(x0)的满足 =1 的特解13 求微分方程(y+ )dxxdy=0 的满足初始条件 y(1)=0 的解14 求微分方程(yx 3)dx 一 2xdy=0 的通解15 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解16 求微分方程 cosy 一 cosxsin2y=siny 的通解17 求微分方程 xy =x2+y2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解18
4、求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解19 求微分方程(xy 2+y 一 1)dx+(x2y+x+2)dy=0 的通解20 求微分方程 的通解21 求微分方程 的通解22 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解23 设 f(x)=ex0x(xt)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)24 用变量代换 x=lnt 将方程 +e2xy=0 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解25 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x+1，求 f(x)26 求满足初始条件 y
5、“+2x(y)2=0，y(0)=1 ，y(0)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2 一+1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y+y=0，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2
6、(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)一 2(x)+2(x)，选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 (x+C)cosx【试题解析】 y=cosxe tanxdxdx+Cetanxdx=(x+C)cosx【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由 0xf(x 一 t)dt x0f
7、(u)(du)=0xf(u)du 得 f(x)=30xf(u)du+2， 两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 f(x)=Ce3dx=Ce3x， 取 x=0 得 f(0)=2，则 C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2+lnC1，或y=C1(2x+3)2， 于是 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 ln(lnu 一1)=lnx+lnC，即
8、 lnu1=Cx，或 u=eCx+1，故原方程的通解为 y=xe Cx+1 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 所以原方程的通解为 y2(y+3x)=C【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 所求的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 P(x，y)=xy 2+y 一 1，Q(x，y)=x 2y+x
9、+2；因为=2xy+1，所以原方程为全微分方程， 令 u(x，y)= (0，0) (x，y) (xy2+y 一 1)dx+(x2y+x+2)dy =0x(一 1)dx+0y(x2y+x+2)dy=一 x+ +xy+2y， 则原方程的通解为+xy+2yx=C【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 u 一arctanu=x+C，所以原方程的通解为 yarctan(x+y)=C【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xexx，原方程化为 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由 f(x)
10、=ex0x(xt)f(t)dt，得 f(x)=exx0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对x 求导，得 f(x)=ex0xf(t)出，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=Ccosx+Csinx+ e在 f(x)=ex0x(x 一 t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex0xf(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有C1= 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 0xtf(xt)dt x0xf(u)du0xuf(u)du=x0xf(t)dt0xtf(t)dt， 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x+1 化为 0xf(t)dt+x0xf(t)dt0xtf(t)dt=x+1，两边求导得 f(x)+0xf(t)dt=1，两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Cex，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=ex 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 再由 y(0)=1 得 C2=1，所以 y=arctanx+1【知识模块】 高等数学
