1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C） axe2x+bx2x+cx（D）axe 2x+bx+c2 微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( )二、填空题3 yy“=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_4 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y“一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_5 微分方程 2y“=3y2 满足初始条
2、件 y(一 2)=1，y( 2)=1 的特解为_6 微分方程 xy= 的通解为_7 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_8 以 y=C1e2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_9 设 y“一 3y+ay=一 5ex 的特解形式为 Axex，则其通解为_10 设 f(x)可导，且 01f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求微分方程 xy“=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解12 一条曲线经过点
3、(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线13 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积14 用变量代换 x=sint 将方程 (1 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解15 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，求该微分方程16 求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解17 求 y“一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0
4、)=1，y(0)=1 的特解18 求微分方程 y“+4y+4y=eax 的通解19 求微分方程 y“+y=x2+3+cosx 的通解20 求微分方程 x3y“+2x2y“一 xy+y=0 的通解21 求微分方程 x2y“一 2xy+2y=x 一 1 的通解22 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程23 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)24 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一
5、象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点( )，求 L 的方程25 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间27 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x) 一 f(x)=a(x 一 1)，y=f(x)，x=0，x=1
6、，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=一 2， 2=2 y“一4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x， y“一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“
7、一 4y=0 的通解为 C1e2x+C2e2x，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 ，解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1， 则 1+p2=C1 y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得 y ， ln|y+=x【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2xe 3x+ x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y(0)=2， y“一 6y+9y=e3x 的特征方程为 2 一6+9=0，特征值为 1=2=3， 令 y“一 6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代入得 a=，
8、故通解为 y=(C1+C2x)e3x+ x2e3x 由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则 y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 x=一【试题解析】 令 y=p，则 y“= =3y2，解得 p2=y2+C， 由y(2)=1，y(一 2)=1，得 C1=0，所以 y= =x+C2， 再由 y(2)=1，得 C2=0，所求特解为 x=一 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 arcsin =ln|x|+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 Q(x)=2+2x+312(x 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19
9、， y=C 1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x2+3x+2 为微分方程 y“+y一12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+312(x2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19， 且通解为 y=C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数) 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【试题解析】 特征值为 1=一 2
10、， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y=C 1ex+C2e4x+xex【试题解析】 因为方程有特解 Axe，所以一 1 为特征值，即(1) 23(一 1)+a=0a=4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0=一 1，=4，齐次方程 y“3y+ay=0 的通解为 y=C1ex+C2e4x，再把 Axex 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1ex+C2e4
11、x+xex【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 f(x)=e x【试题解析】 由 01f(x)+xf(xt)dt=1 得 01f(x)dt+01f(xt)d(xt)=1， 整理得 f(x)+0xf(u)du=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0， 解得 f(x)=Cex，因为 f(0)=1，所以 C=1，故f(x)=ex【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 y=C2edx=C2ex，由 y(0)=1 得 C2=1，所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设切点为 P(x，y)，曲线上 P 点处的切
12、线为 Yy=y(Xx)， 令X=0，得 Y=yxy，切线与 y 轴的交点为 Q(0，y 一 xy)，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2 为特解，所以 e2x，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y一 2y=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 特征方程为 2+2
13、一 3=0，特征值为 =1，=一 3，则 y“+2y一3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得 a=，所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 原方程可化为 y“一 2y=e2x，特征方程为 x 一 2=0，特征值为1=0， 2=2，y“一 2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x设方程 y“一 2y=e2x 的特解为y0=Axe2x，代入原方程【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 特征方程为 +4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通
14、解为 y=(C1+C2x)e2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 A=； (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y(x)=Ax2e2x，代入原方程得 A=xxe2x【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=i， 方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx， 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1
15、+ xsinx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 x=et，则 xy=D，x 2y“=D(D 一 1)，x 3y“=D(D1)(D 一 2)，即【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 F=ma=解此微分方程得 v(t)=v0e由 v0e= 得 t=ln3，从开始到t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 S=0ln3v0etdt= v0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y(Xx) 令X=0，则 Y=yxy，故 A 点的坐标为(0，yxy)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e1dxdx+Ce1dx=Cexax， 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e2ax所以当 a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=ex 一 3x【知识模块】 高等数学
