1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= =0，则( )。（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）3 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数4 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy
2、=sin2x+2e2 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他5 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续 （D）若 f(a+h)一 f(ah)=0，则 f(x)在 x=a 处连续二、填空题6 =_7 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)=1，则 =_8 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =
3、_9 设 f(x)连续，且 =2，则=_ 10 =_11 设 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_12 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；(2)存在 0，2 ，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()14 设 =A，证明：数列 an有界15 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连
4、续16 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点17 f(x)= ，求 fx)的间断点并分类18 求 f(x)= 的间断点并判断其类型19 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型20 求函数 y=ln(x+ )的反函数21 求极限22 求极限23 证明：24 设 f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证明：a 1+2a2+nan125 求极限26 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x0，作
5、 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x27 设 f(x)在a，+)上连续，且 存在证明：f(x)在a，+) 上有界28 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()考研数学一（高等数学）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= f(x)=0，所以 b0，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试
6、题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 0，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 ，即 f(x) f(0)，选(A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然f(x) 1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数f(x)都是间断的，故(C) 不对；令 f(x)= f(0+h)一 f(0 一 h)=0，但f(x)在 x=0 处不连续， (D)不对；若 f(x)在 x
7、=a 处连续，则 =f(a)，又0f(x) f(a)f(x)f(a) ，根据夹逼定理， f(x)=f(a) ，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y (x2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 a=一 1，b=1【试题解析】 因为 f(x)在 x=0处连续，所以 a+4b=3
8、=2b+1，解得 a=一 1，b=1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)一 1+2x，(0)= 一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1) ，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c (2)因为 f(x)C0，2，所以f(x)在0，2 上取到最小值 m 和最大值 M，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 取 0=1，因为 =A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有 a n 一 A 1，所以a n A+1 取M=maxa 1，a 2，a
9、N，A+1， 则对一切的 n，有a nM 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 e-f(x)在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0，有 f(x0)，令 xx 0-，由夹逼定理得 f(x0 一 0)=f(x0)；当 xx 0 时，有 f(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0+，由夹逼定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x00)=f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0 ，1上连续【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 =k0，所以存在 x00，当 xX0 时，有f(x)一 k
10、0，特别地，f(X 0)0，因为 f(x)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 x=k(k=0，一 1，一 2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，一 1，一 2， 及 x=1【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 首先 f(x)= ，其次 f(x)的间断点为x=k(k=0，1，) ，因为 =e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1 ，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学20
11、【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 x n+1xn=f(xn)一 f(xn1)=f(n)(xn 一 xn1)，因为 f(x)0，所以 xn+1一 xn 与 xn 一 xn1 同号，故x n单调根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令 n ，得 ，原命题得证【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设 =A，取 0=1，根据极限的定义
12、，存在 X00，当 xX 0 时，f(x)一 A1， 从而有 f(x) A+1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取M=maxA +1，k，对一切的 xa，+)，有f(x)M 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i)M(i=1，2，n)， 注意到 ki0(i=1，2，n)， 所以有 kimkif(xi)ki/m(i=1， 2，n)，同向不等式相加，得(k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 高等数学
