1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 =0，又f(x)=一 2x2+0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)是曲线
2、 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)二阶连续可导，且 =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点4 设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点5 下列说法正确的是( ) （A）设 f(
3、x)在 x 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点6 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个7 设 k0，则函数 f(x)=lnx 一 +k 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个8 设函数
4、 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点 （D）两个极大点，三个极小点，两个拐点 二、填空题9 设 f(x)= 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_ 10 设 F(x)= 0x (x2 一 t2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则 f(0)=_11 设 f(x)在( 一，+)上可导， f(x)一 f(x1)，则 a=_12 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，
5、2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_13 曲线 y= 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)=x+x2+xn(n2) (1)证明方程 f(x)=1 有唯一的正根 x； (2)求 15 设 a0，讨论方程 axx=x2 根的个数16 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3 一 3x+k=0 根的个数17 设 k 为常数，方程 kx 一 +1=0 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围18 设 f(x)在 一 1，1上可导， f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4 求19 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)
6、=f(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 20 设函数 f(x)= 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=1(1)确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续爹(2)求 f(x)；(3)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性21 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f+(a)f-(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f()=022 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f“()=223 设 f(x)是在a，b上连续且严格单
7、调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得 =124 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)25 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 =M证明：f(x 0)=M26 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=27 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明： (1)存在 c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i(a，b)
8、(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一3f()+2f()=028 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得 29 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明：30 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的
9、两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ= 2，称 P，Q 关于 L 对称设L：y= (1) 求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程； (2)求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标31 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx考研数学一（高等数学）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 0，即当x(2，2) 时，f(x)0；当 x(2，2+)时，f(x) 0，于是 x=2
10、 为 f(x)的极小点，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0， f(x)=一 2x2+0xg(xt)dt=一 2x2 一 0xg(xt)d(xt) =一 2x2+0xg(u)du， f“(x)=一 4x+g(x)，f“(0)=0，f“(x)=一 4+g(x)，f“(0)=一 40， 因为 f“(0)= =一 40，所以存在 0，当 0x 时， 0，从而当 x(一 ，0)时，f“(x)0，当 x(0，)时，f“(x) 0，选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且0
11、，即当 x(一 ，0) 时，f“(x) 0，当 x(0，)时，f“(x) 0，所以(0 ，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选 (C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=12f(x)f“(x)，f“(0)=1 0，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f“(x) 0，再由 f“(0)=0，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】
12、高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0) ，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+=+，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，+)内至少有一个零点又因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0) ，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0
13、，又 =一，于是 f(x)在(0，+) 内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时，f(x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3
14、 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 a=2，b=一 1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(1 一 0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1 由f(x)在 x=1 处可微得 a=2，所以 a=2，b= 一 1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 F(x)=x 20xf(
15、t)dt0xt2f(t)dt，F(x)=2x 0xf(t)dt，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1【试题解析】 =e2a，由 f(x)一 f(x 一 1)=f()，其中 介于 x 一 1 与 x 之间，令 x，由e2，即 e2a=e2，所以 a=1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1，2)+2f y(1，2) =3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 y=2x4【
16、试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)令 n(x)=fn(x)一 1，因为 n(0)=一 10， n(1)=n10，所以n(x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根 因为 n(x)=1+2x+nxn10，所以 n(x)在(0，+)内单调增加，所以 n(x)在(0，+) 内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0 ，+)内有唯一正根，记为 xn (2)由 fn(xn)一 fn+1(xn+1)=0，得(x n 一 xn+1)+(xn2 一 xn+12)+(xnn 一 xn+1
17、n)=xn+1n+10，从而 xnx n+1，所以x nxn+1单【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2e-x 一 a=0 令 f(x)=x2e-xa，由 f(x)一(2x x2)e-x=0 得 x=0， x=2 当 x0 时，f(x)0；当 0x 2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极大值为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=x3 一 3x+k， =+由 f(x)=3x2一 3=0，得驻点为 x1=一 1，x 2=1f“(x)=6x ，由 f“(一 1)=一
18、6， f“(1)=6，得 x1=一1，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(一 1)=2+k，f(1)=k 一 2 (1)当 k一 2 时，方程只有一个根； (2)当 k=一 2 时，方程有两个根，其中一个为 x=一 1，另一个位于(1，+)内； (3)当一 2k2 时，方程有三个根，分别位于(一，一 1)，(一 1，1)，(1，+)内； (4)当 k=2 时，方程有两个根，一个位于(一，一 1)内，另一个为 x=1； (5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 所以原式=2 【知识
19、模块】 高等数学19 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f -(b)0，根据极限的保号性，由 f+(a)=0，则存在 0(ba)，当 0x 一 a 时，0，即 f(x)f(a)， 所以存在 x1(a， b)，使得 f(x1)f(a) 同理由 f-(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b) 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x2)f(b) ，所以 f(x)的最大值在 (a，b)内取到，即
20、存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0， 令 g(x)=f(x)一 P(x)，则g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)=g“(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g“()=0，而 g“(x)=f“(x)一
21、 2，所以f“()=2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以 f(a)=aa+h a+(n 一 1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性 存在 ac 1c 2c n1b，使得 f(c 1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n1)=a+(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1)一 f(a)=f(1)(c1 一 a)， 1(a，c 1)， f(c 2)一 f(c1)=f(2)(c2 一 c1)， 2(c1，c 2)， f(b) 一 f(cn1)=f(n)(b 一 cn1)， n(cn
22、1，b)，从而有【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)=f()(xx0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则=M，即 f(x0)=M【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 (x)=(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x1)f(x)+(x 一 1)2f“(x)，
23、所以2(1)f()+( 一 1)2f“()=0，整理得 f“()= 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a， b上连续，在(a ，b) 内可导，且F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 (2)令 h(x)=ef(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(i)+f(i)=0(i=1，2) (3) 令 (x)=e-xf(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)
24、(a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f“()=f() (4)令 g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0， 而 g(x)=e-xf(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f(1)f(1)=0，f( 2)一 f(2)=0 令 (x)=e-2xf(x)一 f(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e-2xf“(x)一 3f(x)+2f(x)且 e-2x0， 所以 f“()一 3f()+
25、2f()=0【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立； 设c 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1c a 2 a n令，构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa1)(xa2)(xan)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1， c)， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1，a 1)，使得 (1(1)=(2(1)=( n(1)=，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1)(x)在(a
26、1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n1)(c1)=(n1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a n)，使得 (n)()=0而 (n)(x)=f(n)(x)一 n!k，所以 f(n)()=n!k，从而有【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 (1)设点 M(x，y) L，则【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201f(x)dc【知识模块】 高等数学
